滑块木板滑动摩擦力方向判断(木板滑动摩擦力的高中物理题)
对于高中物理中的木滑块问题，分析往往需要分段考虑，求解过程非常揪心。这里有一个高层次的视角，即计算物理的视角，可能有助于老师或学生理解木制滑块问题。
木制滑块问题的难点在于摩擦力的方向总是会改变。高中物理的方法是基于同速突变等方法分段考虑，这导致了复杂的分类讨论。如果你不小心，你就会发生错误。我们先来分析一下摩擦力的方向，注意它只与正负相对速度有关，所以可以用符号函数来表示。符号函数定义为
0\\0x=0\\-1x0rame'tabindex='0'data-mathml='sgn(x)={1xgt;00x=0#x2212;1xlt;0'角色='演示'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'sgn(x)={1x00x=01x0\rmsgn(x)=\left\{\begin{array}{lr}1\quadx0\\0x=0\\-1x0\end{数组}\right.\\
其图像如图1所示，
图1：Sign函数但实际上，sign函数存在不连续性，在数值计算中很难处理，所以可以用双曲正切函数代替，即
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='tanh#x2061;(x/#x03F5;)'角色='演示文稿'tanh(x/)\tanh{(x/\epsilon)}，rame'tabindex='0'style='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x03F5;'role='presentation'\epsilon表示符号发生变化的过渡区域的厚度。图2显示不同ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x03F5;'role='presentation'\epsilon情况下的函数图像。
图2：双曲正切函数可见，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x03F5;'role='presentation'\epsilon越小，图像越接近符号函数。一般我会选择rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03F5;=10#x2212;9'role='presentation'=109\epsilon=10^{-9}，但是有的同学可能会说会害怕，所以后续分析只会取为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03F5;=0.001'角色='演示'=0.001\epsilon=0.001。我们用一个具体的例子来说明这个方法。这个例子来自知友
@袁野的一篇文章，其经典做法请参考袁野：袁野谈经典19：板块问题的解决方案“牛二+运动+v-t图像”42条同意·8条评论文章示例：如图图中，粗略放置了一个质量块'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m=4kg'role='presentation'm=4kgm=4\,\rmkg一块质量长的木板'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据放在长木板的右端。-mathml='mA=1kg'role='presentation'mA=1kgm_A=1\,\rmkg滑块A，将质量rame'tabindex='0'style='font-size:100放在长木的左端木板;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='mB=5kg'role='presentation'mB=5kgm_B=5\,\rmkg滑块B，两个滑块与长木板之间的动摩擦系数'1=0.5_1=0.5，长木板与地面的动摩擦因数分别为'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x3BC;2=0.1'角色='演示'2=0.1_2=0.1。在某一时刻，两个滑块拉动'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='v0=3m/s'role='presentation'v0=3m/sv_0=3\,\rmm/s以相反方向移动。当两个滑块相遇时，A和长木板恰好相对静止。当地重力加速度为ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='g=10m/s2'角色='演示'g=10m/s2g=10\,\rmm/s^2
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)当滑块B开始移动直至滑块B与长板相对静止时，滑块B与长板之间的摩擦产生热量。
(2)滑块A、B开始移动时的距离。图3分析：设滑块和木板的速度为'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='vA'角色='演示'vAv_A，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='vB'角色='演示'vBv_B，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='v'role='presentation'vv，则滑块A上的摩擦力可表示为
rame'tabindex='0'data-mathml='fA=#x2212;sgn(vA#x2212;v)#x03BC;1mAg=#x2212;tanh#x2061;(vA#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mAg'角色='演示'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'fA=sgn(vAv)1mAg=tanh(vAv)1mAgf_A=-{\rmsgn}(v_A-v)\mu_1m_Ag=-\tanh\Big(\frac{v_A-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Ag\\同理，可以表示滑块B与木板之间受到的摩擦力的关系，最终三个物体的运动方程为，
rame'tabindex='0'data-mathml='mAdvAdt=#x2212;tanh#x2061;(vA#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mAg'角色='演示'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'mAdvAdt=tanh(vAv)1mAgm_{A}\frac{dv_A}{dt}=-\tanh\Big(\frac{v_A-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Ag\\rame'tabindex='0'data-mathml='mBdvBdt=#x2212;tanh#x2061;(vB#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mBg'角色='演示'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'mBdvBdt=tanh(vBv)1mBgm_{B}\frac{dv_B}{dt}=-\tanh\Big(\frac{v_B-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Bg\\rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='mdvdt=tanh#x2061;(vA#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mAg+tanh#x2061;(vB#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mBg#x2212;tanh#x2061;(v#x03F5;)#x03BC;2(mAg+mBg+mg)'角色='演示'mdvdt=tanh(vAv)1mAg+tanh(vBv)1mBgtanh(v)2(mAg+mBg+mg)m\frac{dv}{dt}=\tanh\Big(\frac{v_A-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Ag+\tanh\Big(\frac{v_B-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Bg\\-\tanh\Big(\frac{v}{\epsilon}\Big)\mu_2(m_Ag+m_Bg+mg)这是一阶非线性普通微分方程组，数值解比较简单，注意初始条件，
rame'tabindex='0'data-mathml='vA(0)=#x2212;3,vB(0)=3,v(0)=0'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'vA(0)=3,vB(0)=3,v(0)=0v_A(0)=-3,\quadv_B(0)=3,\quadv(0)=0\\这里使用数学软件rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Mathematica'role='presentation'MathematicaMathematica解决了它。大约10行代码，我们得到了ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='v#x2212;t'角色='演示'vtv-t图片，
图4：v-t图。其实我们可以继续向后计算，只要拉长时间就可以了。如图5所示，系统被计算为静止的。
图5：v-t图。可见，在分段分析之前，我们已经借助数值算法毫不费力地获得了运动的物理图像，加深了我们对问题的理解。它可以用来测试解题过程，也可以利用一些编程技巧直接得到答案，非常好用。
[数学代码]
清除['全局`*'];m=4;mA=1;mB=5;\[Mu]1=0.5;\[Mu]2=0.1;g=10;\[Epsilon]=0.001;eqA=mAvA[t]==-Tanh[(vA[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mA*g;eqB=mBvB[t]==-Tanh[(vB[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mB*g;eq=mv[t]==Tanh[(vA[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mA*g+Tanh[(vB[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mB*g-Tanh[v[t]/\[Epsilon]]*\[Mu]2*(mAg+mBg+mg);sol=NDSolve[{eqA,eqB,eq,vA[0]==-3,vB[0]==3,v[0]==0},{vA,vB,v},{t,0,2}]//First;Plot[{vA[t]/.sol,vB[t]/.sol,v[t]/.sol},{t,0,1.5},PlotRange-All]