欧拉公式是最浪漫的数学公式(欧拉公式 百度百科)

（除了二项式定理之外，还有很多组合恒等式可以写成生成函数的形式，有兴趣的朋友可以自行探索。）

好吧，让我们言归正传吧，如果我们点菜的话

那么根据函数方程，

E(2)=E(1)E(1)=e2

E(3)=E(2)E(1)=e3

…………

因此E(x)=ex对于所有整数x都成立。那么根据函数方程

E(1/3)E(1/3)E(1/3)=E(1/2)E(1/2)=E(1)=e

又因为E(1/2)和E(1/3)都是正数，所以

E(1/2)=e1/2

E(1/3)=e1/3

进一步可以推导出E(x)=ex对于所有有理数和所有实数（取极限）都成立。所以E(x)是指数函数ex的推广。对于复数x，我们也将E(x)写为ex。例如，eit是：

(微分方程)(ex)=ex

逐项微分，我们得到这个微分方程：

相信很多人都知道e可以用复利来理解：

如果有人高利贷给你1万元，年利率是100%，那么一年后还贷时你就得还他2万元。但如果他半年后还清贷款，就是（1+1/2）万，然后借给你，半年后还清贷款，就是（1+1/2）2万=22,500。如果每四个月结算一次，那么一年后就是(1+1/3)30,,700。如果把一年分成很多，甚至无数个时间段，连续不断地计算复利，最终的结果将是极限

该极限也大约等于2.718。也就是说，最初的元，一年内不断复利，最终会变成元左右。

另一方面，当x从0连续变化到1时，函数ex的值从1增长到e，而ex的微分方程表明，这种增长方法使用自己的值作为每个时刻的增长率，这就是与上面提到的复利模型相同。所以从ex的微分方程我们可以直观地看出

e表示单位数量在单位时间内“自然增长”所获得的数量，因此称为自然常数。这种自然生长模式在自然界中经常遇到，例如细菌和其他微生物的繁殖。

在讲函数ex的共轭方程之前，我们先回顾一下共轭复数的概念：

复数z=x+yi的共轭复数定义为z=x-yi，其对应于平面上关于x轴对称的两个点。

很容易验证共轭、加法和求幂运算是可交换的：

两个互共轭复数的乘积恰好等于模的平方：

zz=|z|2

(共轭等式)

这个方程的推导也很简单：

共轭方程告诉我们，函数ex在一对共轭复数处所取的值也是相互共轭的。

四，揭开欧拉公式的神秘面纱

现在让我们回顾一下欧拉公式

(欧拉公式)eitcost+isint

该公式的左侧是在整个实数轴上定义的复值函数。也就是说，对于每个实数t，都有一个唯一的复数eit。正如我们在文章《复数——几何直观和代数运算的交响乐》中提到的，复数与平面上的点一一对应。因此，如果我们将数轴视为时间的直线，

eit可以被视为平面上质点的运动。此时t，粒子的位置为eit。

但这个公式右边也是定义在整个实数轴上的复值函数，也可以看成是质点在平面上的运动。我们在第一节中说过，函数cost和sint分别表示单位圆（以原点为圆心）上从点(1,0)逆时针偏离弧长为t的点的横坐标和纵坐标，

也就是说，在t时刻，粒子在单位圆上已经移动了长度为t的距离。也就是说，欧拉公式右边代表质点绕单位圆逆时针匀速圆周运动，速度为1。

因此，我们需要说明的是，欧拉公式左边的eit也代表质点绕单位圆逆时针匀速圆周运动。我们先解释一下为什么函数eit的值总是落在单位圆上。根据ex的共轭方程

并根据ex的函数方程

所以eit确实代表了粒子在单位圆上的运动。如何解释这个运动是逆时针且匀速的？我们可以看一下它的速度向量，它是eit的导函数。根据ex的微分方程，我们有

因此，每一时刻的速度矢量就是顺时针旋转90度的位置矢量，

因此，eit也确实表示质点绕单位圆作逆时针匀速圆周运动，速度也为1。

因此，由于左右函数代表的是同一个运动，欧拉公式自然成立。另外，在时间t=时，粒子刚刚穿过半圆并到达点(-1,0)。那么欧拉公式就变成了

根据ex的函数方程，

使用欧拉公式，该方程可以写为

你能看出这本质上是三角函数的和差积公式吗？事实上，以欧拉公式为背景

ex的函数方程和三角函数的和差化积公式是等价的！