三角形的内心是什么的交点(三角形的内心性质)

1.真诚：

定义：三角形三个高的交点。

〈2〉性质：

【性质1】锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂直中心位于直角的顶点；钝角三角形的垂直中心在三角形的外部。

【性质2】三角形的垂心是该直角三角形的内心；或者换句话说，三角形的内心是其平行中心三角形的垂直中心。

【性质3】垂心O相对于三边的对称点均在ABC的外接圆上。

【性质4】在ABC中，共圆的四点有六组，相似直角三角形有三组（每组四个）。

【性质5】O、A、B、C四点中的任意一点是以其余三点为顶点的三角形的重心（这四点称为重心群）。

【性质6】ABC、ABO、BCO、ACO的外接圆是等圆。

【性质7】三角形任意顶点到垂直中心的距离等于外心到对边距离的两倍。

【性质8】设O、H分别为ABC的外心和垂心，则BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。

【性质9】锐角三角形的垂心到其三个顶点的距离之和等于其内接圆和外接圆半径之和的两倍，即AH+BH+CH=2(r+R）。

【性质10】锐角三角形的垂直中心是垂直三角形的内心；锐角三角形的内切三角形中（顶点在原三角形的边上），垂直三角形的周长最短。

【性质11】设H为非直角三角形的垂心，D、E、F分别为H在BC、CA、AB上的投影。H1、H2、H3分别为AEF、BDF、CDE的重心。则DEFH1H2H3。

【性质12】三角形的重心H的整形三角形的三条边与原三角形各顶点的外接圆的切线平行。

2.内心

定义：三角形的三个内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

即AE、BF、CD分别平分角BAC、角ABC、BCA，AE、BF、CD交于O点。O点为ABC的圆心。

〈2〉性质：

【性质1】三角形中心到三边的距离相等，且都等于内接圆的半径r。

【性质2】BOC=90+BAC/2。

【性质3】在RtABC中，A=90，三角形的内切圆在D处与BC相切，则SABC=BDxCD

3、重心：

重心的定义：重心是三角形三条中线的交点。

重心性质：

【性质1】三角形重心到边中心的距离与到与该边相对的顶点的距离之比为1:2，即OD:OA=1:2；

OE:OC=1:2;

OF:OB=1:2。

【性质2】重心与三角形三个顶点组成的三个三角形的面积相等，即SAOB=SBOC=SAOC。即重心到三边的距离与三边的长度成反比。

【性质3】三角形的重心到三个顶点的距离的平方和最小。

【性质4】在平面直角坐标系中，重心坐标为顶点坐标的算术平均值。即在ABC中，若点A(X1,Y1)、B(X2,Y2)、C(X3,Y3)，则中心点O的坐标为{(X1+2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3}。

4、外部中心：

外心定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

〈2〉外心的性质：

【性质1】若O为ABC的外心，则BOC=2A（A为锐角或直角）或BOC=360-2A（A为钝角）。

【性质2】当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形之外；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，且斜边的中点重合。

【性质3】外心到三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。

5.注意：

〈1〉边中心的定义：

它是三角形的两条外角平分线和一条内角平分线的交点。

〈2〉对中心的性质：

【性质1】三角形的周心到三边的距离相等，即OE=OF=OG。

【性质2】任意三角形都有三个外心，且不相邻的内角平分线通过外心。

【性质3】任意三角形都有三个外接圆和三个外心。中心必须在三角形之外。即O1、O2、O3是ABC的三个外接圆，1、2、3是ABC的三个外心，且都在ABC之外。

【性质3】直角三角形斜边上的切圆半径等于三角形周长的一半{假设ABC为Rt，A=90度，O1为直角三角形斜边上的切圆斜边BC，则此边切圆的半径R1=1/2(AB+BC+AC)}。