三角形五心概念(三角形的五心分别是什么意思)

三角形的五个中心和五个中心是三角形非常重要的属性之一。本期清华大学的杨老师将讲解三角形五个中心的性质和外延。

一、三角形的五个中心及其性质1、重心的定义：三角形的三条中线的交点就是重心，且重心必须在三角形内部。如图所示，若D、E、F分别为边BC、AC、AB的中点，则AD、BE、CF三条线段的交点O即为ABC的重心。

重心的性质：(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

(2)

重心与三角形任意两个顶点所围成的三个三角形的面积相等。即重心到三边的距离与三边的长度成反比。

（3）三角形除以三条中线得到的六个小三角形的面积都相等。

(4)在平面直角坐标系中，重心坐标为三个顶点坐标的算术平均值，即重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)

2、垂心定义：三角形三条高线的交点为垂心。如图所示，若AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边的高度，则AD、BE、CF这三条线段的交点O就是ABC的垂直中心。

垂心的性质：(1)锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂直中心位于直角的顶点；钝角三角形的垂直中心在三角形的外部。

(2)三角形的垂直中心是其垂直脚三角形的中心。

如图所示，H为ABC的垂直中心和DEF的中心。

(3)三角形任意一个顶点到垂直中心的距离等于外心到对边距离的两倍。（如果垂直中心沿着外接圆，则一定是平行四边形）。

如图所示，G为三角形ACD的重心，O为三角形ACD的外心，OHCD，则：AG=2OH，四边形AMCG为平行四边形。

(4)垂直中心向量特征：三角形ABC的垂直中心G，则：向量GA·GB=向量GB·GC=向量GC·GA

3、内心的定义：三角形三个内角的平分线交于一点。该点是三角形内切圆的圆心，称为内心。内心必须在三角形内部。如图所示，若AD、BE、CF分别为三角形三个顶角的平分线，则AD、BE、CF这三条线段的交点I就是ABC的圆心。

内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等，且都等于内切圆的半径r，ID=IE=IF=r

(2)BIC=90+BAC/2；AIC=90+ABC/2；AIB=90+ACB/2

(3)O点为平面ABC上任意点且I点为ABC圆心的充要条件为：

矢量OI=[a*(矢量OA)+b*(矢量OB)+c*(矢量OC)]/(a+b+c)。

(4)ABC中：a、b、c分别为三边，S为三角形的面积，则内切圆半径为r=2S/(a+b+c)

4、外心定义：三角形三边的垂直平分线交于一点。该点是三角形外接圆的圆心，称为外接心。如图所示，若l、m、n是三角形三边的垂直平分线，则它们的交点O就是ABC的外心。

外心的性质：

(1)锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重合；钝角三角形的外心在三角形的外面。

(2)三角形外心到三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC=R（外接圆的半径）

(3)对于给定的三角形，只有一个外接圆。

(4)点O是平面ABC上的点，则点O是ABC外心的充要条件：(向量OA+向量OB)·向量AB=(向量OB+向量OC)·向量BC=(矢量OC+矢量OA)·矢量CA=0

5、Paracenter（一般不需要pericenter）pericenter的定义：与三角形相切的圆的中心，称为三角形的periccenter，是三角形的一个内角的平分线与平分线的交点另外两个内角的外角；任何三角形都有三个外接圆和三个外心。如图所示，O1、O2、O3分别是三角形ABC的三个切圆的圆心。

旁心的性质：

(1)外心必须在三角形之外。

(2)三角形外心到三边的距离相等。

2.三角形五心性的推广1.三角形内角平分线定理（*要点）若AD为三角形ABC的内角BAC的平分线，则BD/CD=AB/AC

2.三角形外角平分线定理

若AD为三角形ABC的外角CAF的平分线，则BD/CD=AB/AC

3.内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)

即：将一条边除以其对角线正弦值的2倍

证明：AD为圆O的直径，

D=C,

ABD=90

AB=AD*sinD=AD*sinC

2R=AD=AB/sinC

R=AB/2sinC

4.正弦定理(*重点)