老黄怎么样了(老黄说了什么话)
2022年高考数理卷B中的立体几何题，让老黄在解题的过程中学到了新的数学知识。建议你每天抽出一些时间来学习。学习不会耽误你！
如图所示，在四面体ABCD中，ADCD，AD=CD，ADB=BDC，E为AC的中点。
(1)证明：平面BED平面ACD；
（2）假设AB=BD=2，ACB=60度，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角度的正弦值。
其实，只要你有良好的空间想象力，掌握立体几何的一些基本定理，立体几何一点也不难。但如果你的空间想象力很差，记不住一些基本定理，或者应用不了，那么立体几何问题就如同天书一样。所有这些能力都是通过每天的努力获得的。那时候，老黄就是不努力。现在回想起来，他感到“遗憾”！下面，老黄就给大家留下很多打老黄脸的机会。看你有没有机会、有能力打老黄的脸！
分析：（1）第一题中，定理“如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面相互垂直”。由于老黄是通过自己的“猜测和推理”得出这些三维几何定理的，所以语言上可能存在一些不规范之处。请自行查看课本上的定理。这个定理应该是教科书上的。
要证明一条直线垂直于另一个平面，必须由“垂直于相交线的直线也垂直于相交线所在平面”的定理来确定。因此，目标是证明两条相交线同时垂直于直线AC。
这就需要应用初中数学“三线合一”定理“等腰三角形底边的中线也是底边的高”。这个定理很有用，但熟练应用的人并不多。老黄初中时就熟悉定理了。
即我们需要两个等腰三角形，其中一个已知，ACD，另一个可以通过证明三角形ADB和三角形CDB全等来实现。
上面用的就是逆向思维。现在正向逻辑组织过程是证明：全等三角形-等腰三角形-同底两高-垂直线和垂直面-垂直面。不看下面的解题流程你能自己解决吗？
(2)有两种方法可供选择，一种是建立系统然后利用向量的知识来求解的代数方法，另一种是几何方法。这次老黄选择了几何方法。参考答案采用代数方法。
首先求图中边AC、BC、AB、BD、AD、CD、DE的长度。这些很容易找到，因为有等边三角形ABC和等腰直角三角形ACD。利用它们的边之间的关系可以很容易地得到它们的长度。
解决这个问题的关键是：当三角形AFC的面积最小时，点F的位置应该在哪里？由于F是BD上的一个移动点，所以这个点有点难以捉摸。三角形AFC具有恒定的基础AC。如果是平面几何问题，就很容易解决。只要点到直线的距离是最短垂直线段，就可以立即求解。这是一个三维几何问题。在BD上的任意一点，都会有一条与AC垂直的线段。那么这些垂直线段中哪一条最短呢？
这是老黄不明白的事情，因为老黄一生中从来没有接触过这个问题，也不知道高中数学课本上是否有这样的定理。幸运的是，这里的BD和AC是相互垂直的。于是，黄在观察之后开始“猜测、推理”，得到了黄有生第一次接触到的立体几何定理。描述起来很不方便。“不在同一平面内且相互垂直的两条直线BD和AC。如果其中一条直线BD上的点F与另一条直线AC构成垂直于第一条直线BD的面，则此F点为第一条直线。BD上各点到另一直线AC的最小距离”。你敢说老黄定理是错的吗？刚刚好！
我不知道当两条直线不垂直时会发生什么。如果有时间，老黄还会继续“猜推”看。
根据上述定理，我们还可以得到CF与平面ABD之间的夹角。这个角就是角AFC，它是等腰三角形，因为它的两条边AF和CF是全等三角形的对应高度。底AC已经找到了，AF和CF所在的三角形的三边也已经找到了，所以就可以求出它们的长度了。现在我们有了三角形AFC的三条边，我们就可以利用余弦定理求出角度AFC的余弦值，然后根据余弦和正弦的关系找到最终的答案。不看下面的解题流程你能自己解决吗？
好了，现在老黄就来整理一下解题过程了。
(1)证明：AD=CD,ADB=BDC,BD=BD,ADBCDB,
E点是AC的中点，DEAC，BEAC，AC平面BED，
还有AC平面ACD、平面BED平面ACD。
（2）解：根据题意，AC=BC=AB=BD=2，AD=CD=平方根2，DE=AC/2=1，
当AFC面积最小时，BD平面AFC；[为什么？让阅卷老师自己猜。这不是一个证明问题，所以你不需要告诉他为什么]
AFC为CF与平面ABD所成的角；
假设DF=x，则BF=BD-DF=2-x，
2-x^2=4-(2-x)^2，解为：x=1/2。CF=AF=平方根(2-x^2)=平方根7/2。
cosAFC=(AF^2+CF^2-AC^2)/(2AF*CF)=-1/7,
sinAFC=根(1-(cosAFC)^2)=4根3/7。
那么在高考数学中，是否可以使用这种“猜推”的方法呢？为什么不？恐怕你自己没有这个。老黄当年高考的时候，所有的数学公式、公理都是直接推算出来就用的。然而，仅仅依靠这种方法确实是不够的。书上的知识你还需要掌握！
老黄知识生态系统3015次同意请教老黄，终于炫耀了。我刚才不是说老黄可以在一条直线上的一点和另一条直线不在同一平面上且不垂直的情况下自由探索这两条直线之间的关系吗？最短距离？老黄还没写完这篇文章，他就已经“猜到、推理”出来了。不在同一平面内的两条直线（无论是否垂直）之间的最短距离位于其公共垂线上。那么，现在这个定理够简单了吗？所以实际上上题中F到AC的最小距离就是CD垂直于平面ACF时EF的长度。（只要自娱自乐，开心就好）