您肯定没见过的英文(您肯定没见过的英语)

这是一道你连答案都看不懂的高考数学题。我们先看一下题目，然后给出黄老师的解答，看看你能不能理解。那么老黄就解释一下解决方案，最后希望大家能分享出更好的解决方案。这个问题看起来并不特别复杂：

假设函数f(x)=|x^2-2x-1|，若ab=1，f(a)=f(b)，求：对于任意实数c，(a+c^2)^2+(b-c^2的最小值)^2。

解：如图1所示，根据函数f(x)图像的性质，1=b1+平方根2；

根据f(a)=f(b)，我们有a^2-2a-1=-b^2+2b+1，

即O:(a-1)^2+(b-1)^2=4，如图2所示：

假设P(a,b)是O上的移动点，则P在短弧AB上(包括A点)。

点M(-c^2,c^2)是射线OM:y=-x上的移动点。

不难发现|OA|是最短的。当b=1，a=3时，即A(3,1)，

所以MP^2=OA^2=(a+c^2)^2+(b-c^2)^2=3^2+1^2=10最小值。

这个怎么样？上面的解题过程你明白了吗？

不知道有多少人像老黄一样。当他们第一次看到这个问题时，他们认为这太简单了。然后我准备用均值不等式来解决，却发现不行。

然后我想到将(a+c^2)^2+(b-c^2)^2展开为关于c^2的二次函数的顶点表达式：2(c^2+(a-b)/2)^2+(a+b)^2/2，那么当c^2=-(a-b)/2时，原式=(a+b)^2/2最小。但c^2=-(a-b)/2并不成立，因为左边是非负数，右边是负数，所以这个方法不行。

当我们在解决这类问题时遇到困难时，我们必须懂得如何利用图像来解决问题。函数f(x)的形象如图1所示，做出来之后不难发现，要使f(a)=f(b)且ab=1，区间内必须有b[1,1+平方根2]优越。这里x=1+平方根2，是方程x^2-2x-1=0的较大根。并且a必须大于1。

因此，f(a)是正数的绝对值，等于它本身，f(b)是负数的绝对值，等于它的相反数，所以a^2-2a-1=-b^2+2b+1，转化为圆的方程(a-1)^2+(b-1)^2=4，画出图2。

而(a+c^2)^2+(b-c^2)^2可以视为移动点P(a,b)与移动点M(-c^2,c^2)之间的距离圆Square，这是两点之间距离公式的应用。这一步是本题最关键的部分。如果能得到，就用这个方法来解决。

由b的取值范围可知，P点在圆弧AB上，并且包含端点A，但不包含端点B。M点显然在射线OM上，即通过的直线y=-x原点O和点M位于第二象限，包括原点。

将A、B的纵坐标分别代入圆方程，可得A(3,1)，B(1+平方根2,1+平方根2)，

因此AB的斜率为：k=(1+平方根2-1)/(1+平方根2-3)=-1-平方根2，

因为|k|=1+平方根21，所以直线BA与射线OM的逆延长线相交。这意味着|OA|是最短的，|OA|=10是寻求的最小值。

老黄知识生态系统3007喜欢去请教老黄这个方法很费脑筋。不知道聪明的你有没有更好的方法呢？