2020年高考理科答案全国一卷(2020年高考理科试题全国卷)
2020年高考全国卷理科第20题的解答与拓展
林国红
摘要：本文对2020年高考全国第三卷数学考试理科部分第20题（2）进行了深入研究，从不同角度给出了四种解答，概括了2020年高考理科部分的第（2）题。测试问题，并获得两个更一般的答案。结论，并将结论类比为双曲线。
关键词：高考数学；区域；晋升；比喻
一、题目呈现
问题已知椭圆的偏心率分别为C的左右顶点。
(1)求出C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BPBQ，求APQ的面积。
由于问题（1）比较简单，本文不予讨论。接下来，对问题(2)进行回答和探讨。
二、解法探究
分析：已知可得点B是不动点。可以考虑设置P(x0,y0)、Q(6,n)，通过参数对问题的条件进行平移和变换。
解法1（以点为参数）假设P(x0,y0)，Q(6,n)，由已知得到B(5,0)，则
根据问题的意思，我们得到
解决或或或
此时，A(-5,0)、P(-3,1)、Q(6,8)。
那么直线AP的方程为x-2y+5=0，点Q(6,8)到直线AP的距离是因为|AP|=
同理，其他情况下APQ的面积可计算为
因此，APQ的面积为
分析是根据问题的意思来进行的。点P由直线BP和椭圆C确定。点Q由直线BQ和直线x=6确定。结合已知条件，以直线BP的斜率k为参数，对问题的条件进行平移变换。
解2（使用斜率作为参数）令P(x0,y0)。从题意可知，直线BP的斜率存在且不为0。设直线BP的方程为y=k(x-5)(k0)，则直线BQ是
同时
排序后，得到(1+16k2)x2-160k2x+(400k2-25)=0。
因此，当0时，将x0代入y=k(x-5)，则解为：
令x=6，我们得到
又因为B(5,0)，所以
从|BP|=|BQ|，我们得到
解决或
此时，P(3，-1)，Q(6，-2)；
此时，P(3,1)，Q(6,2)；
此时，P(-3，-1)，Q(6，-8)；
此时，P(-3,1)，Q(6,8)。
以下是与1相同的解决方案。
分析：根据条件|BP|=|BQ|，BPBQ，可知P点的坐标可以由Q点的坐标确定，反之亦然。由于Q点的横坐标为6，因此可以通过Q点的坐标来确定点P的坐标。仍然使用斜率作为参数来平移和变换问题的条件。
解3（使用斜率作为参数）假设P(x0,y0)。从题意可知，直线BP的斜率存在且不为0。假设直线BP的斜率为k，则直线BP的方程为y=k(x-5)，直线BQ的斜率为
又根据方程-5x05，将解代入y=k(x-5)，可得
(1)当k0时，代入解得或
此时P(-3,-1),Q(6,-8);
此时P(3,-1),Q(6,-2)。
(2)当k0时，同理可得
此时P(-3,1)，Q(6,8)；
此时P(3,1)，Q(6,2)。
以下是与1相同的解决方案。
分析椭圆的对称性，我们不妨将点P和Q设置在x轴上方。如图1所示，过点P画一条垂直于x轴的直线，垂足为M点。设x=6与x轴相交于N点，如图PMBBNQ，则即可求得点P的坐标和直线AQ的方程。根据点到线距离公式和两点之间的距离公式，可以求出C的面积。
解4（平面几何角）基于椭圆的对称性，我们不妨将点P和Q设置在x轴上方。因为点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BPBQ，过点P作与x轴垂直的直线，垂足为点M.令x=6与x轴相交于N点，如图1所示。
由于|BP|=|BQ|，BPBQ，PMB=QNB=90，又因为PBM+QBN=90，BQN+QBN=90，所以PBM=BQN，所以PMBBNQ。
因为因此B(5,0)。
所以|PM|=|BN|=6-5=1。
假设P点为(xP,yP)，则可以得到P点的纵坐标为yP=1。将其代入解可得xP=3或xP=-3，故P点为(3,1)或(-3,1)。
当P点为(3,1)时，故|MB|=5-3=2。
因为PMBBNQ，所以|MB|=|NQ|=2，得到的点Q为(6,2)，如图2所示。
由A(-5,0),Q(6,2)可得直线AQ的方程为2x-11y+10=0，故点P到直线AQ的距离为
所以
当P点为(-3,1)时，则|MB|=5+3=8。因为PMBBNQ，所以|MB|=|NQ|=8，可得到点Q为(6,8)，如图3所示。
由A(-5,0)、Q(6,8)可得直线AQ的方程为8x-11y+40=0，故点P到直线AQ的距离为
所以
综上，APQ的面积为
三、试题推广
通过概括试题，可以得出以下结论：
结论1已知椭圆分别为椭圆C的左、右顶点，椭圆C的偏心率为e。若点P在C上，点Q在直线x=k(ka)上，且|BP|=t|BQ|(t0)，BPBQ，则
为了证明椭圆的对称性，我们不妨将点P和Q设置在x轴上方，令P(xP,yP)，Q(k,yQ)。因为点P在C上，点Q在直线x=k上，且|BP|=t|BQ|，BPBQ，过点P作与x轴垂直的直线，垂足为M点。假设x=k与x轴相交于N点，如图4所示。
由于|BP|=|BQ|，BPBQ，PMB=QNB=90，又因为PBM+QBN=90，BQN+QBN=90，所以PBM=BQN，所以PMBBNQ。
由于|BP|=t|BQ|，因此|PM|=t|BN|，即yP=t(k-a)，代入得到的解
从而有
那时，有
由于|MB|=t|NQ|，所以
所以
因此，直线AQ的方程为
整理一下，得yQx-(k+a)y+yQa=0，
即yQ(x+a)-(k+a)y=0。
因此，点P到直线AQ的距离为
到时候同样的逻辑就可以得到
显然，在椭圆中，当k=6，t=1时，从结论2可以发现，这正是原高考题的情况。
四、类比拓展
经过探索，双曲线中也有类似的结论：
结论2已知双曲线为双曲线C的左右顶点，双曲线C的偏心率为e。若点P在C上，点Q在直线x=k(0ka)上，且|BP|=t|BQ|(t0)，BPBQ，则
学习数学离不开解决问题。一道优秀的试题，在获得答案的基础上，应该多角度地进行尝试和联想。借助问题，我们可以探索隐藏在问题背后的奥秘，并努力扩大结果。从特殊数学到一般数学思想是分析几何数学发现的重要手段。只有养成善于思考、举一反三、学到底的学习习惯，才能在学习中获得无穷的乐趣，发展思维。
参考：
[1]林国红.2018年全国高中数学联赛预赛试题的探索与思考[J].数学通讯，2019（16）：39-41。
作者简介：林国宏（1977-），男，广东佛山人，本科，高级中学教师，从事高中数学教学研究。