高中数学基础知识点总结(高中数学基础知识详解)

初中的时候，我们学过线性函数、一变量的线性方程、一变量的线性不等式之间的关系。本节将遵循类似的思路来探讨二次函数、一变量的二次方程和一变量的二次不等式之间的关系。不过，本节会提到下一课会出现的“函数的表达方法”。

我们暂时继续沿用初中的函数概念（即传统意义上的）：

【功能】（传统意义上的）某个数学问题有两个变量（可能记为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:绿色；'data-mathml='x'角色='演示'xx和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='y'角色='演示'yy)。rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'角色='演示'yywithrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx变化，并且对于每个（有意义的）rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'角色='演示'xx值，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'role='presentation'yy都有唯一且确定的值。这时候我们说rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'角色='演示文稿'yy是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'角色='演示'xx函数。调用rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx是这个函数的“自变量”，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'role='presentation'yy是该函数的“因变量”。

【例1】一个小钢球从空中某一点自由落下，时间从它开始移动的那一刻开始计算。记录自由落体的时间，单位为秒，小钢球落入rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t'角色='演示'tt秒。距离为米。tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；这样rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='h'角色='演示'hhwithrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t'role='presentation'tt变化，且rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='h=12gt2'角色='演示'h=12gt2h=\dfrac12gt^2(rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='g'role='presentation'gg是地球上的重力加速度，我们认为它是一个固定值，或者说是一个“常数”）。假设rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='h'角色='演示文稿'hhisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t'角色='演示'tt函数。

如果函数的自变量和因变量之间的关系可以用'role='presentation'yy等于1aboutrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx"（分段函数的情况下是一个集合），那么这个（集合）表达式就称为这个函数的“解析表达式”。使用的做法表达函数的解析式称为“解析法”。例1中，“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='h=12gt2'role='presentation'h=12gt2h=\dfrac12gt^2"是该问题的泛函分析公式。

在函数中，对于每个（有意义的）rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'角色='演示'xx值，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'role='presentation'yy都是唯一确定的值。这意味着对于每个rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx,平面直角坐标系rame中存在唯一点'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='P(x,y)'role='presentation'P(x,y)P(x,y)与之对应。因此，我们可以将一个函数涉及的所有点画在平面直角坐标系上，并用所有这些点来表示该函数。这些点的总和称为函数的图像，用这种方式表达函数的方法称为“图像法”。

例一中，我们可以使用这个方法来绘制这样的图片（为了方便，这里我们替换为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='g=10'role='presentation'g=10g=10米每平方秒）：

在示例1的图中，在该函数中，所有点将形成一条曲线。因此，我们只需确定几个点的位置，并用平滑的曲线将它们连接起来即可。另请注意，在此函数中rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t#x2A7E;0'role='presentation't0t\geqslant0有意义。

我们在初中其实已经学过二次函数和二次方程的关系：

[示例2]我们检查二次函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=x2#x2212;x#x2212;2'角色='演示'y=x2x2y=x^2-x-2。该函数的图像如下所示：

例2中该函数的形象与rame'tabindex='0'style='font-size:100%相同；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx轴相交于点rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(#x2212;1,0)'角色='演示'(1,0)(-1,0)和点rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(2,0)'role='presentation'(2,0)(2,0)，对应二次方程rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2#x2212;x#x2212;2=0'role='presentation'x2x2=0x^2-x-2=0的根是rame'tabindex='0'style='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1=#x2212;1#xFF0C;x2=2'角色='演示'，x1=1，x2=2x_1=-1,x_2=2.

接下来我们添加一个变量的二次不等式。它的概念完全可以类比一元的情况。

【一个变量的二次不等式】的形式为“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='ax2+bx+clt;0'角色='演示'ax2+bx+c0ax^2+bx+c0"或"0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='ax2+bx+cgt;0'role='presentation'ax2+bx+c0ax^2+bx+c0"称为二次不等式，其中"rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='a,b,c#x2208;R'角色='演示'a,b,cRa,b,c\in\bold{R}和rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='a#x2260;0'角色='presentation'a0a\neq0。

在示例2中，我们发现在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x2208;(#x2212;1,2)'role='presentation'x(1,2)x\in(-1,2)，函数图像在rame'tabindex='0'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'role='presentation'yy位于轴下方。这意味着在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x2208;(#x2212;1,2)'role='presentation'x(1,2)x\in(-1,2)，我们有rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2#x2212;x#x2212;2lt;0'角色='演示'x2x20x^2-x-20;并在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x2208;(#x2212;#x221E;#x2212;1)'角色='表示'x(,1)x\in(-\infty,-1)或rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x2208;(2,+#x221E;)'role='presentation'x(2,+)x\in(2,+\infty)（这两个区间可以合并记录asrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='x#x2208;(#x2212;#x221E;#x2212;1)#x222A;(2,+#x221E;)'角色='演示'x(,1)(2,+)x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)，函数图像在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='y'role='presentation'上面的yy轴。这意味着在rame中'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x#x2208;(#x2212;#x221E;#x2212;1)#x222A;(2,+#x221E;)'角色='演示'x(,1)(2,+)x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)，我们有0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x2#x2212;x#x2212;2gt;0'角色='演示'x2x20x^2-x-20。

这就是对应的有两个实根的方程，即判别式0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x0394;gt;0'角色='presentation'0\Delta0时的示例。rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x0394;=0'角色='演示'=0\Delta=0和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x0394;lt;0'role='presentation'0\Delta0也可以分别利用函数图像得到相应的结果。总之，二次函数、二次方程和不等式的解之间的对应关系如下表所示：

这里我直接借用了人民教育出版社高中数学教材上的表格【注1】上表规定0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='agt;0'角色='演示'a0a0。当rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='alt;0'role='presentation'a0a0，可以得到类似的结果，但是大多数不等号改变了结论的方向。但更推荐的做法是使用二次项系数ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'role='presentation'aa当一个变量的二次不等式小于零时，将不等号两边乘以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2212;1'role='presentation'1-1（记得改变不等号的方向）。

[注2]一个不等式的所有解可以组成一个集合，称为该不等式的“解集”。一般来说，找到一个不等式的“解”，实际上就相当于找到这个不等式的“解集”。我的高中数学老师曾经说过：“解不等式比解方程更困难。因为不等式有无数解，错过任何一个解都不会导致最终的正确答案。”另外，如表所示，如果一个不等式无解，那么我们可以说这个不等式的解集是一个空集。

最后指出，上述方法实际上可以用于任何其他函数及其相应的方程和不等式。我们使用“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='f(x)'role='presentation'f(x)f(x)”表示一个ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;颜色：绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx公式。方程式rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='f(x)=0'role='presentation'f(x)=0f(x)=0（如果有）的实根对应函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='y=f(x)'角色='演示'y=f(x)y=f(x)带有rame的图像'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx轴交点横坐标，不等式0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='f(x)gt;0'role='presentation'f(x)0f(x)0的解集对应函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='y=f(x)'role='presentation'y=f(x)y=f(x)的图像在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='x'角色='呈现'xx整体框架'在轴上方tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x'角色='presentation'xx，不等式'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='f(x)lt;0'role='presentation'f(x)0f(x)0的解集对应函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='y=f(x)'role='presentation'y=f(x)y=f(x)的图像在轴rame下方'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'全部'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x'role='presentation'xx.上述说法反过来也成立。