指数与指数函数高考题型(指数与指数函数高考题)
考纲原文
(1)了解指数函数模型的实际背景。
（2）理解有理指数幂的含义，理解实指数幂的含义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图形所经过的特殊点。
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型。
知识点详解
一、指数与指数幂的运算
1.部首
(1)n次方根的概念和性质
(2)根式的概念和性质
【笔记】
速记技巧：
必须清楚地区分正数的平方根。根指的是奇数和偶数，这是有很大不同的。
根指是奇数根，根指是偶数双胞胎。
负数只有奇数根，算术平方根为零或正数，
如果找到正数的偶数二阶根，则符号相反的值将相同。
计算负数的平方根时要小心。这个词根的意思是它是一个神童。
如果根是偶数，则没有意义，零开平方仍然是零。2.实数指数
(1)分数指数幂
我们规定正数的正小数指数幂的含义为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='amn=amn'角色='演示'amn=amna^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}(a0,m,nN*，和n1)。因此，在a0、m、nN*、n1条件下，根式可以写成分数指数幂的形式。
正数的负小数指数的含义与负整数指数的含义类似。我们规定rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='a#x2212;mn=1amn'角色='演示'amn=1amna^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}(a0,m,nN*,和n1)。
0的正小数指数次方等于0，0的负小数指数次方无意义。
(2)有理数指数幂
定义了分数指数幂的含义后，指数的概念从整数指数幂扩展到有理数指数。整数指数幂的运算性质也适用于有理数指数幂，即对于任意有理数，都有以下运算性质：
rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='aras=ar+s'角色='演示'aras=ar+sa^{r}a^{s}=a^{r+s}(a0,r,sQ);
rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(ar)s=ars'角色='演示'(ar)s=ars(a^{r})^{s}=a^{rs}(a0,r,sQ);
rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(ab)r=arbr'角色='演示'(ab)r=arbr(ab)^{r}=a^{r}b^{r}(a0,r,sQ)。
(3)无理数指数幂
对于无理数的指数，我们可以从有理数的指数来理解。由于无理数是无限不循环小数，所以我们可以利用无理数的不充分逼近和过剩逼近来无限逼近它。最后我们还可以得出结论，无理数的指数是定实数。
一般来说，无理数指数幂'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='a#x03B1;'role='presentation'aa^{\alpha}(0,是无理数)是定实数。有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂。
2.指数函数的图像和性质
1.指数函数的概念
一般情况下，函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=ax'role='presentation'y=axy=a^{x}(a0且a1)称为指数函数，其中x为自变量，函数的定义域为R。
[注]指数函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=ax'role='presentation'y=axy=a^{x}（a0且a1）的结构特征：
(1)Base：大于0且不等于1的常数；
(2)指标：只有自变量x；
(3)系数：ax的系数为1.2。指数函数的图形及其性质
【注】速记提示：
一定要看清指数的增减，把握底数，不放松；
无论如何，已经证明了底数大于0且不等于1；
如果基数大于1，则图像从下到上增大；
基数在0到1之间，图像从上到下递减；
无论函数增大还是减小，图形都会经过(0,1)点。3.关于指数函数的性质
(1)求复合函数的定义域和取值范围
形状像rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=af(x)'role='presentation'y=af函数(x)y=a^{f(x)}的域是f(x)的域。
找到类似rame'tabindex='0'style='font-size:100%的形状；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=af(x)'role='presentation'y=对于函数af(x)y=a^{f(x)}的取值范围，首先应该求出f的取值范围(x)，然后根据单调性求rame'tabindex='0'style='font-。尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=af(x)'角色='演示'y=af(x)y=a^{f(x)}范围。如果a的范围不确定，则需要讨论a。
找到类似rame'tabindex='0'style='font-size:100%的形状；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(ax)'role='presentation'y=首先要找到函数f(ax)y=f(a^{x})的取值范围rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u=ax'role='presentation'u=axu=a^{x}的取值范围，结合y=f(u)的属性确定rame'tabindex='0'style='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(ax)'role='presentation'y=f(ax)y=f(a^{x})值范围。
(2)确定复合函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(ax)'role='presentation'y=f(ax)y=f(a^{x})单调性
设u=f(x)，x[m,n]，若两个复合函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=au'role='presentation'y=auy=a^{u}与u=f(x)具有相同的单调性，则复合函数是[m,n]上的增函数；如果两者的单调性不同（即一个增大，一个减小），则复合函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(ax)'role='presentation'y=f(ax)y=f(a^{x})是[m,n]上的递减函数。
(3)研究函数的奇偶性
第一种是定义方法，即首先定义定义域关于原点对称，然后分析公式f(x)和f(x)之间的关系，最后确定函数的奇偶性。
第二种是图像法。制作函数的图像或观察已知函数的图像。如果图像关于坐标原点或y轴对称，则该函数具有奇偶性。
考向分析
考向一指数与指数幂的运算
指数求幂的一般原理
（1）如果有括号，则先计算括号内的，如果没有括号，则先进行指数运算。
（2）先乘除，再加减，将负指数转化为正指数的倒数。
(3)若底数为负数，则先确定符号；如果底数是小数，则先将其转换为分数；如果底数是带分数，则先将其转化为假分数。
(4)如果是根式，则应将其转化为分数指数幂，尽可能以幂的形式表示，并利用指数幂的运算性质来求解。
(5)有理数指数的运算性质中，底数均大于零，否则不能利用该性质进行运算。
(6)根式转换为指数运算更方便。不要求以统一的形式表达计算结果。若有特殊要求，应按要求书写结果。但结果不能同时包含根符号和分数指数，也不能同时包含分母和负指数。
考向二与指数函数有关的图象问题
指数函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=ax'role='presentation'y=axy=a^{x}（a>0，且a1）的图像变换如下：
【注】可以概括为：函数y=f(x)沿x轴和y轴的变换为“上加下减，左加右减”。
考向三指数函数单调性的应用
1.比较幂大小的常用方法：
(1)对于同底不同指数的两个幂的比较，可以用指数函数的单调性来判断；
(2)对于不同底数、相同指数的两次幂的比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断；
(3)对于不同底数、不同指数的幂的比较，可以折算成同底的两次幂或通过中间值进行比较。
2.求解指数方程或不等式
考向四指数型函数的性质及其应用
1.指数函数中参数的值或范围问题
应利用指数函数的单调性进行合理的变换和求解。同时要特别注意基数a的取值范围，当基数不确定时应进行分类讨论。
2.指数函数综合问题
需要将指数函数的概念和性质与函数的其他性质（如奇偶性、周期性）结合起来，同时要特别注意基不确定时基的分类讨论。
【名师点睛】
从函数的解析表达式判断函数图的形状时，主要采用消元法。解题时应注意以下几点：（1）首先求函数的定义域，根据定义域排除；
（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行消去；
(3)根据函数图上特殊点的函数值或根据函数的变化趋势进行判断。
2、解决函数中常成立问题的常用方法：
(1)分离参数法。如果可以分离出期望范围内的参数，则问题可以转化为(或)始终成立的问题。此时只需获取函数的最大（最小值）值即可。如果无法找到函数的最大值，则可以用函数范围的端点值来表示。
(2)如果所需参数不可分，则必须根据方程根的分布或函数的单调性，并结合函数的图形，将问题转化为不等式进行处理。