数学培优新方法(数学培优补差计划及措施)

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经典培优题

如图所示，已知抛物线y=x+bx+c的图像与x轴的一个交点为B(5,0)，另一个交点为A，与y轴的交点是C(0,5)。

求直线BC和抛物线的解析公式；

如果M点是x轴下方抛物线图像上的移动点，则通过M点画MN//与y轴直线BC相交于N点，并求MN的最大值；

在的条件下，当MN取最大值时，若点P为x轴下方抛物线图像上的任意点，则以BC为边绘制平行四边形CBPQ。设平行四边形CBPQ的面积为S1，ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

[回答]

假设直线BC的解析公式为y=m+n，

将两点B(5,0)和C(0,5)的坐标代入，我们得到

5m+n=0，n=5。

解为：m=-1，n=5

因此，直线BC的解析公式为y=-x+5；

将两点B(5,0)和C(0,5)的坐标代入

y=x+bx+c，得到

25+5b+c=0，c=5，解为：b=-6，c=5

因此，抛物线的解析公式为y=x-6x+5；

假设M(x,x-6x+5)(1x5)，则

N(x,-x+5)，

MN=(-x+5)-(-6+5)

=-x+5x

=-(-5/2)+25/4

当x=5/2时，MN的最大值为25/4。

当MN达到最大值时，x=2.5，

-x+5=-2.5+5=2.5，即N(2.5,2.5)。

求解方程x-6x+5=0，我们得到x=1或5，

求解方程x-6x+5=0，我们得到x=1或5，

A(1,0),B(5,0),

ABN的面积为S2=1/242.5=5，

平行四边形CBPQ的面积为S1=6S2=30。

设平行四边形CBPQ的BC边高为BD，则BC丄BD。

BC=52,

BC·BD=30,

BD=32。

过D点与直线BC作平行线，抛物线与P点相交，与X轴相交于E点。在直线DE上截距PQ=BC，则四边形CBPQ是平行四边形。

BC丄BD,OBC=45,

EBD=45，

EBD是等腰直角三角形，BE=2BD=6，

B(5,0),

E(-1,0),

假设直线PQ的解析公式为y=-x+t，

代入E(-1,0)，得1+t=0，解为t=-1。

直线PQ的解析公式为y=-x-1。

求解方程组

y=-x-1，y=-6x+5。得到

x1=2,y1=-3.x2=3,y2=-4

P点的坐标为P1(2,-3)（与D点重合）或P2(3,-4)。

[解析]

假设直线BC的解析式为y=mx+n，代入两点B(5,0)和C(0,5)的坐标，用待定系数法求出解析式直线BC；同理，将两点B(5,0)和C(0,5)的坐标代入y=x+bx+c，用待定系数法求抛物线的解析式；

MN的长度为直线BC的函数值与抛物线函数值的差。据此，可以推导出MN的长度与M点横坐标之间的函数关系。根据函数的性质，可以求出MN的最大值；

先求ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30。然后设平行四边形CBPQ的BC边的高度为BD。根据平行四边形的面积公式，得BD=32，过点D与直线BC作平行线，与抛物线与P点相交，与x轴相交于E点，截距PQ=BC在直线DE上，则四边形CBPQ是平行四边形。证明EBD是等腰直角三角形，则BE=2BD=6，求E的坐标为(-1,0)，用待定系数法求直线PQ的解析式为y=-x-1，然后求解方程组y=--1,y=x-6x+5

即可求出P点的坐标。

知识点清单：

【二次函数的定义】

一般来说，如果y=ax+bx+c（a、b、c为常数且a0），则y称为x的二次函数。

【几种特殊的二次函数图像特征】

【常用公式】

顶点计算公式：(-b/2a,4ac-b/4a)，对称轴：

x=-b/2a。

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