欧拉公式数学史(欧拉公式最美的数学公式)

前段时间，我们完美地谈论了麦克斯韦方程组，那么当我们谈论世界上最完美的公式时，就离不开欧拉公式。如果说麦克斯韦方程组第一次迎来了物理世界的统一，那么欧拉公式堪称“公式之母”，无数数学和物理公式在他的影响下诞生。可以说促进了数学和物理学的大发展。数学家甚至评价它是“上帝创造的公式”。这个公式的发明者欧拉也被誉为“数学之王”，数学四王之一（“数学之神”阿基米德、牛顿、“数学王子”高斯、欧拉）。

我们先来说说欧拉。欧拉可以说是为数学而生的。9岁时，他读到了牛顿的《自然哲学的数学原理》。

13岁考入巴塞尔大学，最初主修哲学和法律。后来我觉得太轻松了，太放松了。我一口气学了数学、神学、希伯来语和希腊语。

业余时间，我还学习音乐、物理、建筑等。他觉得自己的大学生活过得很悠闲。我花了两年时间完成了六个专业然后毕业了.

我参加硕士学位考试是偶然的，可能是因为觉得硕士学位的内容太简单了，欧拉根本不感兴趣。我想我还不如读个博士学位。

经过一年的硕士学习，我顺利考取了博士学位。

我对这些欧拉很满意，觉得还是有一些学习的价值，所以读了3年。我19岁顺利获得博士学位。博士论文是写的物理论文。

为什么说欧拉狂妄自大呢？因为20岁时，他参加了巴黎科学院奖金的竞赛，获得了第二名。

欧拉什么时候这么生气过？他心想，比赛时虽然只是洒水，但并没有那么认真。这不像我是第二个。

当年获得第一名的皮埃尔·布格也是一位实力派人物。他在多个领域取得了巨大的成就，被后人尊称为“造船工程之父”。

不幸的是，他遇到的对手是欧拉。

欧拉很生气，后果很严重。在接下来的12年里，欧拉赢得了所有建筑竞赛的冠军。

33岁时，欧拉感到不满，不再参加比赛。27岁时，他发明了一系列对人类产生深远影响的符号。圆周率符号、函数符号f(x)、三角函数符号sin、cos、tg等都是他发明的。

欧拉一手成功地为中国数学教科书贡献了无数的知识点。让中国学子在中考、高考的数学烈火中奋斗。然而，这只是其他人在微博上做出的小小的贡献。

从初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、数论中的四次方程欧拉解到欧拉函数、微分方程的欧拉方程、级数论的欧拉常数、变分的欧拉方程微积分、复变函数欧拉公式都是他送给理科大学生的礼物。

还有哥德巴赫猜想，这也是哥德巴赫在给欧拉写信时提出的。目前流行的版本是由欧拉录制的。

哥德巴赫写给欧拉的信

欧拉在数学上的勤奋和天赋确实是前所未见的。都说科学研究如生活。也许当你喝一杯水的时候，你会立刻想到一个配方。

此外，他还创建了几个新学科：拓扑学、弹道学和分析力学，他还自学成为一名制图师。欧洲各地的天文学家正在讨论如何计算彗星的轨道。100多名专家努力尝试，但毫无进展。

27岁的欧拉听说这件事后，感到沮丧。为了炫耀自己的智商，他连续三天不吃不喝不睡觉，研究出了一种计算彗星轨道的方法。

然而，上帝轮回，天才也要纳税。由于连续三天不睡觉，他的右眼过度劳累，失明了……

不过，他表示还可以再坚持一段时间。30岁的独眼欧拉发表了震惊古今的巨著《力学，或解析地叙述运动的理论》，并提出了质点的概念。

向量也被引入到速度和加速度问题中，一系列伟大成就改变了人类发展的方向。

32岁时，他因长时间不跨界而感到心痒，于是出版了一本音乐理论的书，并发明了空气动力学和流体动力学。

59岁时，欧拉完全失明，但欧拉感觉自己仿佛解放了一个新世界。虽然看不清，也无法计算，但欧拉强大的心算能力弥补了这一点。

欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他从小就能够背诵笔记本上的内容。

而且，到了晚年，我还能清楚地记得维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》。这本书有多厚？人民出版社翻译的中文版有300多页。

欧拉可以清楚地记得哪个句子在哪一页、哪一段、哪一行。

有一个例子可以说明他的能力。欧拉的两个学生将复收敛级数的17项相加，并计算出第50位数字。两者相差一个单位。

为了确定谁对谁错，欧拉用心算进行了所有计算，最终发现了错误。欧拉失明的17年间，还解决了月球分离问题和许多令牛顿头疼的复杂分析问题。欧拉用他惊人的记忆力和能力解决了需要计算的难题，他也变得更加勤奋写作。还创立了分析力学和刚体力学

他喜欢把孩子当作篮板，在那里做计算。就像这张照片一样。

1771年，因彼得堡一场大火烧毁了欧拉的房屋，64岁的欧拉被困在大火中。64岁的欧拉因病双目失明，被困在大火中。

虽然他被其他人从火焰中救了出来，但他的学业和大量的研究成果却全部化为灰烬。

拥有惊人记忆力的欧拉说，如果我烧掉我拥有的一切，我就可以重写它。

他抓住这最后的时刻，快速地将他发现的公式写在一块大黑板上，然后口述其内容，这些内容由他的学生，特别是他的长子A.欧拉（数学家和物理学家）抄写下来。

然而，尽管欧拉努力工作了13年，他仍然只整理出了一小部分被烧毁的结果。可以说，如果没有这把火，想想欧拉的成就会对文明的进步做出多大的贡献。

他大火后整理的一小部分成果，共886篇书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占占11%，弹道、航海、建筑等学科占3%。圣彼得堡科学院四十七年来一直忙于整理他的著作。

以欧拉命名的公式和定理有数十个。其中最广为人知的就是我们的主体“欧拉公式”。这个恒等式最早出现在欧拉1748年在洛桑出版的《导言》一书中。它是欧拉复分析公式的一个特例。

欧拉公式没有那么复杂，但是方程很简单。感觉有点像武林高手达到最高境界，返璞归真。

看起来特别简单，但是这个公式对于过去很多数学家来说是很难搞清楚的。它连接了数学中最重要的常数：两个超越数：自然对数底数e，pi；两个单位：虚数单位i和自然数单位1，以及数学中常见的0。

那么为什么这个公式这么复杂呢？因为你可以用多种不同的方式证明这一点。你可以用数学归纳法来证明，你可以用推理来证明，你也可以用分数阶求导来证明，你还可以用复变函数来证明，甚至你可以用平面几何、用物理和拓扑来证明。这就是为什么说它包含了所有的数学元素，甚至是宇宙最合理的法则。

自然数也包含在称为欧拉数的“e”中。自然对数的底数、素数定理、完全速率、有阻力的下落物体、粒子运动，从宇宙飞船的速度到蜗牛的螺旋，都包含“e”

而另一个超越数，大家都很清楚，就是pi。这两个超越数都是欧拉发明的。

它还包含最重要的运算符号+和最重要的关系符号=。0和1是构造群、环、域的基本元素，也是构造代数的基础。虚数单位i将数轴上的问题延伸到平面上，它与哈米尔的4元数和凯莱的8元数是分不开的。

那么你明白为什么这个公式如此复杂了吗？正是因为它涵盖的范围如此之广，三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等都受到了它的影响。对物理学也有巨大的影响，如机械波论、电磁学、波动光学和引发了电子学革命的量子力学的理论基础也蕴含其中。也将物理学中的圆周运动、简谐振动、机械波、电磁波、概率波等联系在了一起......

举一个例子，你可以使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[即^(ix)+ie^(-ix)]

cos=1/2[e^(i)+e^(-i)]sin=-i/2[e^(i)-e^(-i)]

泰勒展开式有无穷级数，e^z=exp(z)=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…z^n/n！+.至此，三角函数的定义域已经扩展到整个复数集合。可以说，欧拉公式将指数函数的定义域拓展到了复数域，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的立交桥”。

它也可以作为时间的函数进行扩展。（引自CSDNxieyan0811）

添加t后，将e^(ix)视为e^(iwt)，其中t是时间，w是系数。平面上的旋转圆扩大为空间上的旋转圆。纵轴表示时间t。两个水平轴是实部(cos(t))和虚部(sin(t))。蓝线经过的点是e^ix，即时域中的e^ix分别投影到实轴cos(t)和虚轴sin(t)上，两者都是时间t的函数。正余弦和余弦的投影如图（红色/绿色）所示。如果使用python制作3D绘图，拖动旋转角度的效果更加直观。这就是傅立叶变换的原理：将时域值分裂，映射到频域，用三角函数的叠加来表示。

以及拓扑中的欧拉公式

v+f-e=x(p)，v为多面体p的顶点数，f为多面体p的面数，e为多面体p的边数，x(p)为欧拉特征多面体的数量p.如果p可以同胚于球体（通俗地理解就是能够在球体上膨胀拉伸），那么x(p)=2。如果p同胚于一个有h个环连接的球体，则x(p)=2-2h。x(p)称为p的欧拉特征数。它是一个拓扑不变量，即无论拓扑如何变形都不会改变的量。这是拓扑学研究的范围。

那么读完本文你就会知道为什么欧拉公式被称为“上帝创造的公式”了。许多数学家甚至物理学家都受到了欧拉公式的启发。高斯曾说过：“一个人首先看到这个公式，没有感受到它的魅力，就不可能成为数学家。”

物理学家查德·费曼惊叹：欧拉恒等式不仅是“数学中最美妙的公式”，而且是现代物理学的定量基础。

只是不知道各位有数学困扰的朋友看到这个公式会不会很生气。毕竟我们很多初中、高考、大学的配方都受到它的影响~