一元二次方程解法大全(一元二次方程的各种解法及步骤)

单变量二次方程解的总结。插入眼睛以防止将来忘记。

一、定义

一个“整数方程”，只包含一个未知数，最高次方为2。它的通式为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='ax2+bx+c=0#xFF08;a#x2260;0#xFF09;'role='presentation'（）ax2+bx+c=0（a0）ax^2+bx+c=0(a\ne0)对于二次方程通式中零系数的方程，一般可以可以通过简单运算求解，有些不属于二次方程范畴，所以全部省略。另外，出于高中数学的考虑，增加了虚根，并进行了一些扩展。文末附有文中方法的推导过程。

二、根

定理：n次多项式最多有n个不同的根。

必须

二元方程最多有2个不同的根

以下解均假设方程有两个根（两个不同的实根，两个相同的实根，两个不同的虚根）

三、特殊解法

3.1开方法

当rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='b=0'role='presentation'b=0b=0，有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ax2+c=0'角色='演示'ax2+c=0ax^2+c=0，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=#x00B1;#x2212;ca'角色='演示'x=cax=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}

3.2公式法

3.2.1简单情形rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a=1"role="presentation"a=1a=1

rame'tabindex='0'样式='字体-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2+bx+c=0'角色='演示文稿'x2+bx+c=0x^2+bx+c=0rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1,2=#x2212;b2#x00B1;b24#x2212;c'角色='演示'x1,2=b2b24cx_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}

3.2.2推广

rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ax2+bx+c=0'角色='演示'ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='x1,2=#x2212;b2a#x00B1;(b2a)2#x2212;ca'角色='演示'x1,2=b2a(b2a)2cax_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}

四、常规通用解法

4.1因式分解法（涵盖了配方法）

4.1.1十字相乘法

取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a1,a2'角色='演示文稿'a1,a2a_1,a_2是随机的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'角色='演示'aa因子，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='c1,c2'角色='演示文稿'c1,c2c_1,c_2是随机的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='c'role='presentation'cc因子，关系如下图

经过简单的尝试，我们可以100%匹配rame'tabindex='0'style='font-size:display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(a1x+c1)(a2x+c2)=0'角色='演示'(a1x+c1)(a2x+c2)=0(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)=0

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1=#x2212;c1a1'角色='演示'x1=c1a1x_1=-\frac{c_1}{a_1},rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2=#x2212;c2a2'role='presentation'x2=c2a2x_2=-\frac{c_2}{a_2}

4.1.2多项式除法

假设方程的一个根已知rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1'role='presentation'x1x_1（可以通过“测试根方法”获取）

长除法有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ax+b+ax1=0'角色='演示'ax+b+ax1=0ax+b+ax_1=0

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=#x2212;x1#x2212;ba'角色='演示'x=x1bax=-x_1-\frac{b}{a}

短除法有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(x#x2212;x1)(ax+ax1+b)=0'角色='演示'(xx1)(ax+ax1+b)=0(x-x_1)(ax+ax_1+b)=0

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=#x2212;ba#x2212;x1'角色='演示'x=bax1x=-\frac{b}{a}-x_1

因此有

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2=#x2212;x1#x2212;ba'角色='演示'x2=x1bax_2=-x_1-\frac{b}{a}

4.1.5试根法

withrame'tabindex='0'样式='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ax2+bx+c=0'role='presentation'ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0，取其有理根ram'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=qp'role='presentation'x=qpx=\frac{q}{p}，其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='q,p'role='presentation'q,pq,p互质，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='p'角色='演示文稿'ppisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'角色='演示'aa除数，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='q'角色='演示'QQ很漂亮'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='c'role='presentation'cc除数

4.1.6韦达定理法

ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='{x1+x2=#x2212;bax1x2=ca'角色='演示'{x1+x2=bax1x2=ca\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}已知一个根，我们可以根据这个定理推导出另一个根

需要注意的是，如果你打算用这个定理来重建一个二变量的线性方程组，那么联立方程组将恢复到原来方程组的形式，而问题仍然是求解一元的二次方程多变的。

4.2公式法

有一个通用公式

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1,2=#x2212;b#x00B1;b2#x2212;4ac2a'角色='演示'x1,2=bb24ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}根据函数定义，取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x0394;=b2#x2212;4ac'role='presentation'=b24ac\Delta=b^2-4ac，可见

0，方程有两个实根\\\Delta=0，方程有一个实根（两个相等的实根）\\\Delta0，方程没有实根（有两个虚根）ram'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='{#x0394;gt;0#xFF0C;#x65B9;#x7A0B;#x6709;#x4E24;#x4E2A;#x5B9E;#x6839;#x0394;=0#xFF0C;#x65B9;#x7A0B;#x6709;#x4E00;#x4E2A;#x5B9E;#x6839;#xFF08;#x4E24;#x4E2A;#x76F8;#x7B49;#x7684;#x5B9E;#x6839;#xFF09;#x0394;lt;0#xFF0C;#x65B9;#x7A0B;#x65E0;#x5B9E;#x6839;#xFF08;#x6709;#x4E24;#x4E2A;#x865A;#x6839;#xFF09;'role='presentation'，方程有两个实根，方程有一个实根（两个相等的实根），方程没有实根（两个虚根）{0，方程有两个实根=0，方程有一个实根（两个相等的实根）0，方程没有实根（有两个虚根）\begin{cases}\Delta0，方程有两个实根Root\\\Delta=0，方程有一个实根（两个相等的实根）\\\Delta0，方程没有实根（有两个虚根）\end{cases}这种方法与3.2.2中的求解方法相同，本质是方程相同但形式不同，可以根据个人喜好选择。需要注意的是，如果选择3.2.2求解方法，则需要根据函数定义计算根数。不过，由于两者本质上是一样的，所以判别式仍然是ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x0394;'role='presentation'\Delta判别式

方法虽然很多，但思路却很少。——1、根据根之间的关系，用各种简单的方法先求出一个根，然后再推导出另一个根。2.直接用前人介绍的公式来替换根。这些方法的目的是通过减少计算量来获得准确的结果。实际应用中，哪个更方便就用哪个。

附录：各公式证明

3.2章节公式证明

ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2+bx+c=0'role='presentation'x2+bx+c=0x^2+bx+c=0假设两个根都是实根。已知二次方程函数的图形是抛物线，它的两个根必须关于顶点镜像对称。也就是说，顶点横坐标一定是两个根的中点。设其横坐标为'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='z'角色='presentation'zz，带有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='z=x1+x22'角色='演示文稿'z=x1+x22z=\frac{x_1+x_2}{2}

又因为顶点在水平轴上的投影等于两个根之间的距离，所以该距离设置为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t'role='presentation'tt，然后设置两个横坐标为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='z#x2212;t,z+t'role='presentation'zt,z+tz-t,z+t，根据吠陀定理：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='{(z#x2212;t)+(z+t)=#x2212;ba(z#x2212;t)(z+t)=ca'角色='演示'{(zt)+(z+t)=ba(zt)(z+t)=ca\begin{cases}(z-t)+(z+t)=-\frac{b}{a}\\(z-t)(z+t)=\frac{c}{a}\end{情况}

在那里简化

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='{z=#x2212;b2z2#x2212;t2=c'角色='演示文稿'{z=b2z2t2=c\begin{cases}z=-\frac{b}{2}\\z^2-t^2=c\end{情况}

联力解得到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t=b24#x2212;c'role='presentation't=b24ct=\sqrt[]{\frac{b^2}{4}-c}（t是距离，即正值），那么

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1,2=#x2212;b2#x00B1;b24#x2212;c'角色='演示'x1,2=b2b24cx_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{4}-c}促销表格证书

与除了rame'tabindex='0'style='font-size:100%;相同display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'role='presentation'aa将通式转化为

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2+bax+ca=0'role='presentation'x2+bax+ca=0x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0然后，比较通过上面的公式，我们有

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='{b#x2192;bac#x2192;ca'角色='演示'{bbacca\begin{cases}b\to\frac{b}{a}\\c\to\frac{c}{a}\end{案例}

将相应的值替换为

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1,2=#x2212;b2a#x00B1;b24a2#x2212;ca'角色='演示'x1,2=b2ab24a2cax_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}其实这种形式可以通过直接简化经典求根公式得到。这种形式在计算大数时更简单，而经典公式在计算小数时更简单。