勾股定理的一个新证明是什么(勾股定理的另一种证明方法)

今天下午，我们来聊聊今年4月份AndresNavas在预印本库arXiv上发表的最新证明。这是关于毕达哥拉斯定理的。通过面积法证明，涉及一些简单的面积计算和初等数学。三角函数的知识。但证明的方法和语言都是原创的，非常值得一看。这里我们只提一下证明思路，回顾一下毕达哥拉斯定理的相关历史。

毕达哥拉斯定理被认为是改变世界的重要数学定理之一，又称毕达哥拉斯定理。它的数学语言是（先用知乎公式编辑器写个数学公式来玩玩，这其实既孤单又热闹）：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='c2=a2+b2'role='presentation'c2=a2+b2c^{2}=a^{2}+b^{2}公元前540年左右，希腊毕达哥拉斯哲学学派提出：“一切皆数”，发现了毕达哥拉斯定理，并导致了不可约量的发现。（据说毕达哥拉斯证明这个定理后，杀了一百头牛来庆祝，所以又叫“百牛定理”，确实牛逼，但是牛是无辜的！）

更早的时候，大约公元前600年，希腊米利都的泰勒斯开始证明几何命题，将数学标记为演绎演绎的科学。更早的时候，毕达哥拉斯定理的特殊情况在中国商高时代（公元前11世纪）就已为人所知：钩三、股四、弦五。

这个古老定理的证明吸引了不同时代、不同国家不同层次的数学爱好者。据说证明方法有上百种，但李老师认为最早的证明是欧几里得的Given，完整的证明记载在《几何原本》。我们看第一章的第47个命题：

在直角三角形中，与直角相对的边上的正方形等于包含直角的边上的正方形。

翻译成中文就是

在直角三角形中，直角对边的平方等于直角两侧的平方和。

AndresNavas(http://arxiv.org/abs/1604.03808)的证明似乎受到了欧几里得的启发。这位大老师的证明就是两边各做一个正方形，最后直接解决（暴力美学）。安德烈斯·纳瓦斯在每条边上画了一个等边三角形。如下所示：

抱歉，我的图有点草率，请参考论文原文自行推演。首先，根据三个三角形和一个平行四边形求整个图形的面积：

然后，执行局部加法，如下所示：这次是三个三角形的和，其中两个与上式中的两个相抵消。

面积法虽然不是独创的，但几何图形之间是直接相关、相互依赖的。作者不得不依靠图的计算来给出最终的结果：论文虽然短，但是说了很多。

你可以找到并欣赏Euclid给出的证明方法。它非常美丽。另外请看一下本书这一章的最后一个证明（可见《几何原本》的安排是用心良苦的，至少也是相当严谨的），就是它的逆定理：

如果三角形一侧的平方等于三角形另外两条边的平方和，则另外两条边之间的角是直角。请参阅《几何原本》提案1.48：

如果三角形的一条边的平方等于三角形剩余两条边的平方（和），则三角形剩余两条边所包含的角度是直角。

更多详情请参考：

难道中国古代数学家只是在毕达哥拉斯定理上总结经验，而没有进行推理和验证吗？-数学图灵社区：书：毕达哥拉斯定理：证明维基百科英文词条Euclid维基百科英文词条EuclidElementsElementsofGeometry，（古希腊）Euclid，译者：兰吉正/朱恩宽译林书局2011-11