指数型函数的对称性(指数函数的对称规律)

闪现结论：

函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=1ax#x2212;k+1'角色='演示'f(x)=1axk+1f(x)=\frac{1}{a^{x-k}+1关于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(k,f(k))'角色='演示'(k,f(k))(k,f(k))对称

问题1：假设函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=22x+1'role='presentation'f(x)=22x+1f(x)=\frac{2}{2^{x}+1}，找到rame'tabindex='0'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(#x2212;5)+f(#x2212;4)+#x2026;+f(0)+#x2026;+f(4)+f(5)'角色='演示'f(5)+f(4)+…+f(0)+…+f(4)+f(5)f(-5)+f(-4)+\ldots+f(0)的值)+\dots+f(4)+f(5)。极简分析：根据结论，函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=22x+1'角色='演示'f(x)=22x+1f(x)=\frac{2}{2^{x}+1}关于rame'tabindex='0'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(0,1)'角色='演示'(0,1)(0,1)对称性

所以有：自变量之和等于0，函数值之和等于2

让rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t=f(#x2212;5)+f(#x2212;4)+#x2026;+f(0)+#x2026;+f(4)+f(5)'角色='演示't=f(5)+f(4)+…+f(0)+…+f(4)+f(5)t=f(-5)+f(-4)+\ldots+f(0)+\ldots+f(4)+f(5)

然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t=f(5)+f(4)+#x2026;+f(0)+#x2026;+f(#x2212;4)+f(#x2212;5)'角色='演示't=f(5)+f(4)+…+f(0)+…+f(4)+f(5)t=f(5)+f(4)+\ldots+f(0)+\dots+f(-4)+f(-5)

添加两个公式：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='2t=11#x00D7;2'role='presentation'2t=1122t=11\times2，所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t=11'角色='演示't=11t=11

问题2：假设函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=12x+2'角色='演示'f(x)=12x+2f(x)=\frac{1}{2^{x}+\sqrt{2}},找到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(#x2212;5)+f(#x2212;4)+#x22EF;+f(0)+#x22EF;+f(5)+f(6)'角色='演示'f(5)+f(4)++f(0)++f(5)+f(6)f(-5)+f(-4)+\cdots+f(0)+\cdots+f(5)+f(6)值。极简分析：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=12x+2=122x#x2212;12+1'角色='演示'f(x)=12x+2=122x12+1f(x)=\frac{1}{2^{x}+\sqrt{2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2^{x-\frac{1}{2}}+1}所以功能是关于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(12,24)'角色='演示'(12,24)\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{4}\right)对称性。

所以有：自变量之和等于1，函数值之和等于rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='22'角色='演示'22\frac{\sqrt{2}}{2}

让rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t=f(#x2212;5)+f(#x2212;4)+#x22EF;+f(0)+#x22EF;+f(5)+f(6)'角色='演示't=f(5)+f(4)++f(0)++f(5)+f(6)t=f(-5)+f(-4)+\cdots+f(0)+\cdots+f(5)+f(6)

然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t=f(6)+f(5)+#x22EF;+f(0)+#x22EF;+f(#x2212;4)+f(#x2212;5)'角色='演示't=f(6)+f(5)++f(0)++f(4)+f(5)t=f(6)+f(5)+\cdots+f(0)+\c点+f(-4)+f(-5)

添加两个公式：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='2t=12#x22C5;22'role='presentation'2t=12222t=12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}，所以rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t=32'角色='演示't=32t=3\sqrt{2}

问题3：假设函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=4x4x+2,Sn=f(1n)+f(2n)+#x22EF;+f(n#x2212;1n),n=2,3,#x22EF;'角色='演示'f(x)=4x4x+2,Sn=f(1n)+f(2n)++f(n1n),n=2,3,f(x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+2},S_{n}=f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n-1}{n}\right),n=2,3,\cdots然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='Sn'角色='演示'SnS_{n}=______。极简分析：functionrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=4x4x+2=1#x2212;24x+2=1#x2212;14x#x2212;12+1'角色='演示'f(x)=4x4x+2=124x+2=114x12+1f(x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+2}=1-\frac{2}{4^{x}+2}=1-\frac{1}{4^{x-\frac{1}{2}}+1}

所以函数是关于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(12,12)'role='presentation'(12,12)\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)是对称的，因此总和自变量的个数等于1，函数值的总和等于1

可以用同样的逆求和方法求得。

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#xA0;#x7EC3;#x4E60;1:#x8BBE;#x51FD;#x6570;#xA0;f(x)=13x+3,#xA0;#x6C42;#xA0;f(#x2212;5)+f(#x2212;4)+#x22EF;+f(0)+#x22EF;+f(5)+f(6)#xA0;#x7684;#x503C;#xA0;'role='presentation'练习假设函数的值练习1:令函数f(x)=13x+3，求f(5)+f(4)++f(0)+的值+f(5)+f(6).\text{练习1:设函数}f(x)=\frac{1}{3^{x}+\sqrt{3}},\quad\text{求}f(-5)+f(-4)+\cdots+f(0)+\cdots+f(5)+f(6)\text{的值。}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#xA0;#x7EC3;#x4E60;2:#x5DF2;#x77E5;#x51FD;#x6570;#xA0;f(x)=3x3x+1,(x#x2208;R),#xA0;#x6B63;#x9879;#x7B49;#x6BD4;#x6570;#x5217;#xA0;{an}#xA0;#x6EE1;#x8DB3;#xA0;a50=1,#xA0;#x6C42;#xA0;f(ln#x2061;a1)+f(ln#x2061;a2)+#x2026;+f(ln#x2061;a99)#xA0;#x7684;#x503C;#xA0;'role='presentation'练习已知函数正项等比数列，满足要求值练习2:已知函数f(x)=3x3x+1，(xR)，正项等比数列{an}满足a50=1，求f(lna1)+f(lna2)+…+f(lna99)\begin{aligned}\text{练习2:已知函数}f(x)=\frac{3^{x}}{3^{x}+1},(x\inR),\text{正等比数列}\left\{a_{n}\right\}\text{满足}a_{50}=1,\text{寻找}\\f\left(\lna_{1}\right)+f\left(\lna_{2}\right)+\ldots+f\left(\lna_{99}\right))\text{值}\end{对齐}

参考答案：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#xA0;#x7EC3;#x4E60;1:#xA0;23f(x)=13x+3=132x#x2212;12+1,#xA0;#x4E8E;#x662F;#x51FD;#x6570;#x5173;#x4E8E;#xA0;(12,36)#xA0;#x5BF9;#x79F0;#xA0;'role='presentation'练习所以函数关于练习1:23f(x)=13x+3=132x12+1对称，则函数关于(12,36)\begin{aligned}\text{练习1:}对称2\sqrt{3}\\f(x)=\frac{1}{3^{x}+\sqrt{3}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{2^{x-\frac{1}{2}}+1},\text{所以函数约为}\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6}\右)\text{对称}\end{对齐}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#xA0;#x4E8E;#x662F;#x6709;#xFF1A;#x81EA;#x53D8;#x91CF;#x4E4B;#x548C;#x7B49;#x4E8E;1#xFF0C;#x51FD;#x6570;#x503C;#x4E4B;#x548C;#x7B49;#x4E8E;#xA0;33#xA0;#x4EE4;#xA0;t=f(#x2212;5)+f(#x2212;4)+#x22EF;+f(0)+#x22EF;+f(5)+f(6)'role='presentation'那么我们有：自变量之和等于，函数值之和等于设be：自变量之和等于1，函数值之和等于33设t=f(5)+f(4)++f(0)++f(5)+f(6)\begin{aligned}\text{因此有：自变量之和等于1，函数值之和等于}\frac{\sqrt{3}}{3}\\\text{让}t=f(-5)+f(-4)+\cdots+f(0)+\cdots+f(5)+f(6)\end{对齐}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#xA0;#x5219;#xA0;t=f(6)+f(5)+#x22EF;+f(0)+#x22EF;+f(#x2212;4)+f(#x2212;5)#xA0;#x4E24;#x5F0F;#x5B50;#x76F8;#x52A0;#xFF1A;#xA0;2t=12#x22C5;33,#xA0;#x6240;#x4EE5;#xA0;t=23'role='presentation'然后将两个方程相加：所以t=f(6)+f(5)++f(0)++f(4)+f(5)两个方程相加：2t=1233，所以t=23\begin{aligned}\text{那么}t=f(6)+f(5)+\cdots+f(0)+\cdots+f(-4)+f(-5)\\\text{将两个表达式相加：}2t=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{3},\text{so}t=2\sqrt{3}\end{对齐}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#xA0;#x7EC3;#x4E60;2:#xA0;992#xA0;#x6CE8;#x610F;#x5230;#xA0;ln#x2061;a1+ln#x2061;a99=ln#x2061;a2+ln#x2061;a98=ln#x2061;a3+ln#x2061;a97=ln#x2061;a502=0'角色='演示'练习通知练习2:992通知lna1+lna99=lna2+lna98=lna3+lna97=lna502=0\begin{对齐}\text{练习2:}\frac{99}{2}\\\text{注意}\lna_{1}+\lna_{99}=\lna_{2}+\lna_{98}=\lna_{3}+\lna_{97}=\lna_{50}^{2}=0\end{对齐}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#xA0;#x5229;#x7528;#x4E0E;#xA0;[#xA0;#x9898;3#xA0;#xA0;#x76F8;#x540C;#x7684;#x65B9;#x6CD5;#xFF0C;#x53EF;#x4EE5;#x627E;#x5230;#xA0;f(x)=3x3x+1,(x#x2208;R)#xA0;#x5173;#x4E8E;#xA0;(0,12)#xA0;#x5BF9;#x79F0;#xA0;'role='presentation'利用问题同理，用【问题3】相同的方法求关于(0,12)的对称性，可以发现f(x)=3x3x+1，(xR)关于(0,12)对称。\text{使用与}\left[\text{问题3}\text{相同的方法可以找到}f(x)=\frac{3^{x}}{3^{x}+1},(x\inR)\text{关于}\left(0,\frac{1}{2}\right)\right。\text{对称性。}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#xA0;#x4E8E;#x662F;#x6709;#x81EA;#x53D8;#x91CF；#x7528;#x5012;#x5E8F;#x6C42;#x548C;#x6CD5;#x6C42;#x89E3;#xA0;'role='presentation'所以自变量之和等于，函数值之和等于，然后用逆求和法求解，所以自变量之和等于0，则函数值之和等于1，然后用逆求和法求解。\text{所以自变量之和等于0，函数值之和等于1，然后用逆求和法求解。}

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