求线段比值常用策略(求线段比值的题目)

八年级数学几何题中，求线段的比例一直是个难题。尤其是当题目条件中没有给出线段长度时，很多同学都感到无头绪。这时候就需要引入一个可以表达线段长度的量，即Set参数。

设置参数也是初中数学中常用的方法。它可以广泛用于求线段比、角度比、面积比等，因为在求比的过程中，通常会消除参数。使用参数时一定要记住“过桥”，即消灭参。

话题

菱形ABCD中，ABC=60，P为对角线BD上的点，E为边BC上的点，PE=PA。

(1)如图1所示，求APE的次数；

(2)如图2所示，BE的垂直平分线与BD相交于F点，与BE相交于G点。求出PF:AB的值；

(3)如图3所示，PE与CD交于M点。当CME=45时，求BC:CE的值。

分析：

（1）角为60的菱形实际上可以看作是由两个等边三角形组成的两个等边三角形。它是一种特殊的菱形，菱形是轴对称图形。BD是其对称轴。好好利用这个财产。这样可以大大简化证明过程。

P点在BD上，所以连接PC。根据对称性，PA=PC，根据题目条件中的PE=PA，可得PC=PE，如下所示：

我们要求的APE在四边形ABEP内，所以APE=360-BAP-ABC-E=300-BAP-E，根据对称性，BAP=BCP=180-PCE=180-E，代入上式，可得APE=300-(180-E)-E=120；

(2)我们知道菱形的对角线平分一组对角，因此BD平分ABC，从而得到特殊的PBC=30。结合图中的垂直平分线，我们可以构造一个角为30的直角三角形，同时在上题中我们证明了等腰PCE。我们不妨通过点P构造PHBE，然后构造一个特殊的直角三角形，如下图：

由于该题没有给出任何边长条件，为了求出比值，我们需要设置参数来表示线段AB和PF。我们应该设置哪一个呢？

菱形的边长起着极其重要的作用。首先，我们可以将菱形的边长设置为PF。

BFG中，BF=2y，BG=3y，G点是BE的中点，所以BE=2BG=23y，所以CE=BE-BC=23y-x，等腰在PCE之前已经证明，根据三条线的组合，可以求出CH=3y-x/2，那么在第二个特殊直角三角形BPH中，BH=BC+CH=x+3y-x/2=3y+x/2.所以PH=y+3x/6，BP=2y+3x/3，所以PF=BP-BF=3x/3。此时我们可以计算比率，结果为3/3；

（3）这题增加了一个特殊的角度45，那么此时的比例会发生什么变化呢？我们仍然延续上题的参数设置，在N点连接AC和BD，如下图：

我们先计算一下相关的角度。在MEC中，CME=45，MCE=60，所以得到E=75，这样就可以得到两个等腰三角形，即BPE和PCE，然后计算CPE=30，所以我们得到APC=90。根据对称性，我们得到BPC=45。现在我们可以利用特殊直角三角形的边长关系。

仍然假设菱形的边长为x，则CN=x/2=PN，BN=3x/2，BP=BN+PN=3x/2+x/2，所以BE=BP=3x/2+x/2，所以CE=BE-BC=3x/2-x/2，即可求出比值，化简后得到3+1。

反思解决问题

在使用参数之前你是如何看待使用参数的？问题条件是没有线段长度，但比例为1。特殊的边长之间存在着关系，比如等腰直角三角形、角为30的直角三角形等，并且存在着全等、对称等等价关系。三、除了这道题，很多其他问题也适合参数法，比如解决应用问题和函数问题。参数的意义在于辅助或简化，最终会被淘汰。如果推导结束后参数还在，那肯定说明过程有问题。

其实参数没必要想得那么神秘。当我们学习角度表示时，我们标记1、2等，这些都是参数。同样，在解决问题的过程中，太多的线段名称也不方便找到数量关系。假设用x、y等字母来表示，最终的作用就是简化流程。