如何计算置信区间上下限(如何计算置信区间公式)

一、置信区间与置信水平

做实验时，无论实验条件多么精确，都无法避免随机干扰的影响，因此误差始终存在且无法避免。做科学实验时，要多次测量，取平均值。科学实验的测量结果中总是添加测量范围。

统计学的核心思想：利用样本信息来估计总体信息

之前，我们使用样本给出准确的值来估计总体。这个点估计是有价值的，但是可能会有误差，因为有估计就会有误差。错误是不可避免的，但可以减少。

点（精确值）误差区间（范围）误差

点估计

图中横轴是不同样本从小到大的平均值，红色虚线代表所需的总体平均值。假设采样过程重复5次，那么就会有5个样本，可以计算出5个样本平均值的点估计。即蓝点代表总体样本。

如果图片中有很多蓝点，则每个蓝点是总体平均值的点估计。这么多的点估计，我们无法判断哪个点估计更好，也就是说，我们无法知道估计的准确程度，反之，我们也不知道误差范围。为了解决点估计的问题，需要使用区间估计。

如果想知道全国男性的平均身高，只能通过抽样来估计总体信息。从全国成年男性中随机选择样本。该样本的平均值是总体平均值的点估计。当存在多个样本进行多点估计时，由于无法确定哪一个点估计对整体估计的误差范围较小，因此采用区间估计来解决这个问题。

例如，国内成年男性的平均身高在165cm~175cm[165,175]范围内，那么这个范围称为置信区间。

置信区间是统计学中的一种区间估计方法。用[a,b]表示总体均值的样本估计的误差范围的区间。由于a和b的确切值取决于我们希望该区间包含总体平均值的置信度，因此该区间称为置信度。间隔。

有五个样本。样本的总体均值就是上图中的蓝点。使用一定的方法构建样本整体均值的置信区间。那么五个样本的平均值就会有五个置信区间，也就是图中的黄色和红色水平线。我们仍然不知道哪条水平线更好，但是与点估计相比，因为这次是根据95%置信度构建的区间估计，那么我们可以认为除了图中的红线之外图中，不包括总体平均值，所有其他行均包括总体平均值。这个结论的可信度有多大？换句话说，如果有100个样本，则可以构建100个这样的区间，其中大约95个将包含总体平均值。这也解释了什么是置信水平。

置信水平是指包含总体均值的概率。例如，95%的置信水平意味着如果有100个样本，可以构建100个这样的区间，并且有95%的概率包含总体均值。因此，如果只采样一次，则该样本包含总体均值的概率也是95%。

二、大样本计算置信区间的四个步骤

1.确定要解决的问题

使用样本信息估计总体信息

2.求样本的均值和标准误

当样本量大于30时，抽样分布符合中心极限定理，即抽样分布为正态分布。

总体标准差未知，但可以使用样本标准差来估计总体标准差。标准误实际上就是标准差，但标准误的计算对象是所有“样本平均值”，标准误是用来衡量所有“样本平均值”的。“样本均值”的波动大小

3.确定置信水平

置信水平应该是多少完全取决于具体情况以及您对区间包含总体均值的信心程度。

置信水平越高，区间越宽，置信区间包含总体均值的概率就越大。常用的置信度为95%。

根据中心极限定理，无论总体服从什么分布，任何样本的均值都会围绕总体均值呈正态分布。因此，图片中间的红色垂直线就是总体平均值。根据正态分布的经验法则，95%的样本均值将落在两个标准误差之内。

4.求置信区间的上下限

上图中，上下限ba按照总体平均值对称分布。根据a可以求出b。上图中距离平均值的几个标准误差就是几个标准点。只需要找到a对应的标准分即可。多少钱才够呢？用z表示标准分数。那么如何求z的值呢？

下图是求z值的方法

根据中心极限定理，样本均值近似等于总体均值。根据上图我们可以找到a

置信区间公式中的z指的是其绝对值|z|，公式修改如下：

a=总体平均值-|z|*标准误差

b=总体平均值+|z|*标准误差

大样本置信区间计算总结

置信区间公式中的z指的是其绝对值|z|，公式修改如下：

a=总体平均值-|z|*标准误差

b=总体平均值+|z|*标准误差

三、小样本计算置信区间的四个步骤

当样本量小于30时，抽样分布符合t分布。t分布与正态分布非常相似。曲线相对平坦，有两条突出的尾部。

上图中的n指的是样本量，df指的是自由度。

小样本的置信区间与大样本的置信区间不同，即第三步查询的表不同。

置信区间公式中的t指的是其绝对值|t|，公式修改如下：

a=总体平均值-|t|*标准误差

b=总体平均值+|t|*标准误差

自由度是指可用样本量的数量减去最后一个未被选中的样本量，只剩下1个样本。

例如：有四种水果，你每天选择吃一种。第四天，只有一种水果可以吃。这个时候，已经没有其他的选择了。此时的自由度为3。