单墫 奥数(奥数教程单壿)

今年7月，第63届IMO（国际数学奥林匹克竞赛）在挪威奥斯陆举行。中国队以252分的成绩获得团体总成绩第一名，六名队员全部获得满分。去年，中国队还获得了团体总成绩第一名，并获得了全场比赛唯一的满分。

奥数盛行多年，但始终伴随着诸多误解和批评。很多人质疑，既然中国队在IMO上多次获得金牌，为何至今无人获得菲尔兹奖？奥数也受到了社会上的不少批评，即认为奥数与高等教育挂钩，增加了学生的负担。

那么，奥数到底是什么？我们需要什么样的数学教育？著名数学教育家单燕等学者发表观点——

公众对奥数的许多误解和批评，往往是由于对奥数是什么缺乏了解。

奥林匹克数学竞赛是数学奥林匹克竞赛的简称。奥数不是脑筋急转弯。例如，如果树上有10只鸟，一枪打死一只鸟，树上还剩下多少只鸟？这种题不是数学，也不是奥数。

当然，奥数只是数学的一部分。通常教科书上的数学内容不是奥数。奥数应该是数学中最有趣、要求最高、最具创意的内容。奥数往往有深厚的底蕴和突出的思想，比如一笔图的问题。

回答奥数题不需要太多的知识，而是需要能力，比如阅读能力、理解能力、解决问题的能力……奥数题应该有一定的竞争性，这样才能激发学习兴趣。当然，竞赛题比较难，但是当我看到答案时，我觉得不难，可以解决。只是，有一层纸，无法刺破。简而言之，就像一个苹果挂在你的头顶上，你必须踮起脚尖才能够到它。

而且，从高年级或高等教育中“下移”的知识，例如小学中教授排列组合公式，也不是奥数。加法和乘法原理可以在小学课外教授，因为它们很有趣，而且并不难，但强行将高中知识转移到小学是不合适的。就像小学生跑步一样，距离一般不适合太长。跑马拉松必须等到身体更加成熟之后。奥数也是如此。太低级的知识就不是奥数。

有些问题，比如比较复杂的应用题，用初中的知识并不难解决，也塞不进小学奥数。以此类推，用高中知识很容易解决的问题就不应该塞进初中奥数。

搞奥数的目的是什么？

举办奥数的目的非常明确。一是发现并培养具有数学才能的人才。

从菲尔兹奖获得者的情况来看。2000年以后，14位菲尔兹奖获得者中至少有8位在IMO中获奖。如澳大利亚的陶哲轩、越南的吴波珠、英国的蒂莫西·高尔斯、俄罗斯的格里戈里·佩雷尔曼、法国的洛朗·拉弗格、伊朗的玛丽亚姆·米尔扎哈尼。等等，都是IMO奖牌获得者。其中PeterScholze确实是一个天才。他连续四届参加IMO（2004年至2007年）并获得一枚银牌和三枚金牌。舒尔茨硕士毕业时写的论文创造了一个新的理论，所以他直接获得了博士学位。后来他成为波恩大学教授，并获得拉马努金奖、克莱研究奖、科尔奖和奥斯特罗斯奖。基金会奖、费马奖、莱布尼茨奖、欧洲数学会奖等奖项。2018年，他获得了每四年颁发一次的菲尔兹奖。

当然，并不是所有有数学天赋的人都从事数学研究。因为他们面对的世界非常广阔，而数学研究只是这个世界的一小部分。IMO选手中有不少从事数学研究，如颜华飞、高霞、王松、恽志伟、姚以军等，也有不少转入其他行业，如从事数学研究的李平利、姜步兴等。从事软件开发的还有从事金融行业的库超、张朝晖等。姚建刚等，甚至从事奥数教育的王峰、邹进等。

举办奥数的另一个目的是普及数学。因为奥数，数学书籍的数量增加了很多，数学期刊也很多，如《中等数学》等，这也随着奥数的繁荣促进了数学的传播。奥数还推动了数学教材的改革。很多数学教材都介绍了奥数题，尤其是课本中的思维题或者“想一想”的内容。通过数学奥林匹克竞赛，提高了数学教师的数学水平。

数学竞赛只是入门？

国际数学家大会每四年选出数学研究工作杰出、年龄不超过40岁的数学家（通常不超过4名）授予菲尔兹奖。数学研究与数学竞赛有很大不同。可以说，从事数学研究的都是职业选手，而参加IMO的只是业余选手。IMO的玩家只是中小学生。他们通常必须上大学四年，然后再读研究生。从此我才进入研究工作。

更重要的是，数学研究需要创造性——独一无二的创造性。

做IMO题固然需要创造力，但那些题都是别人拟定的，已经有现成的答案了。搞研究的时候，往往需要自己去发现问题，更重要的是，需要寻求一条前人没有走过的路来解决问题。

在我看来，解决问题需要时间，但花费数千小时甚至一生的研究可能不会产生结果。例如，数学家张益堂直到六十岁才得出成果。不成功的数学研究人员远多于成功的数学研究人员。可见，做研究的时候，你要忍受孤独，长期的孤独。在数学的象牙塔待久了，难免会感叹“日月在蓬莱宫更长”、“世界那么大，我想出去看看”。由此，很多人告别了数学研究。而且，每个人都有自己的志向，数学研究也许不需要太多的人。因此，很多人，尤其是我国的IMO选手，不从事数学研究而是做其他事情，这是可以理解的。

当然，数学竞赛与数学研究不无关系。它们之间肯定存在正相关关系。虽然数学竞赛中的问题已经解决了，但对年轻人来说是很好的锻炼。就像学徒一样，首先学习前人的思想和方法，然后逐步提高。数学竞赛是提高的基础。人的创造力不一定是与生俱来的。大多是从小创作开始，一步步发展到中等水平的创作。如果你努力并有机会，你可能会有大的创造。数学竞赛是一块试金石，培养兴趣和毅力，开阔视野，培养对数学的兴趣，让青少年接触广阔的数学世界。

当然，比赛只是一个入门，后续的“练习”还需要很长很长的时间。事实上，我国不少IMO选手都从事数学研究，并取得了很多成果。许多从事数学研究并取得成果的人也参加过数学竞赛、学习过数学奥林匹克，如徐晨阳、何旭华、倪毅、袁新一、肖亮、余军等。成为各自领域的栋梁，并获得各种奖项。比如云志伟就获得了拉马努金奖。或许，在不久的将来，我国就会有人获得菲尔兹奖。此外，还有很多在其他行业工作的人取得了骄人的业绩。

我国无人获得菲尔兹奖的原因之一可能与缺乏名师有关。美国、俄罗斯、法国、德国等数学强国有多位获得菲尔兹奖的人。即使在日本，也有小平邦彦、弘中平佑、森重文等三人获得过菲尔兹奖。有名师，就容易有好弟子。从我国数学的情况来看，多年来，我们的发展远远落后于世界先进国家。当然，追赶需要很长时间，不可能一蹴而就。

在此背景下，数学竞赛的兴起或将为我国数学追赶世界先进水平创造良好条件。数学研究是一座金字塔，不仅需要顶尖人才，还需要各个层次的人才。目前，我国的数学竞赛正在培养众多各个层次的人才，顶尖人才应该在其中。

我相信时间会证明这一点，但不要着急。中国一旦有了一流的导师，一流的人才就会不断涌现。

为什么有一些人反对奥数？

确实有一些人反对奥数，但不一定很多，也没有做过统计。反对奥数的理由可能各有不同。他们自己回答会更准确。我只能根据一些评论来推测他们的想法。

反对的人大多是跟风、跟风。我什至看到一个高分考生与奥数划清界限，说自己没学过奥数。结果有人一搜，发现她不仅从小就读过奥数学校，而且还在比赛中获奖过。

有一次，我遇到一个不太熟悉的朋友，他对我说：“对不起，我昨天又骂奥数了。”当然，我和奥数不一样，骂奥数并不是批评我。没有必要说“对不起”。但这位朋友是书法家，显然不懂奥数。在批评奥数的人中，很大一部分人在学生时代就不喜欢甚至讨厌数学。随着年龄的增长，我在奥数比赛上发泄了对数学的仇恨。

有的家长因为不能给孩子解决奥数题，觉得太丢人了，于是也加入了批评奥数的人行列。

其实数学强调的不是盲从，而是怀疑和思考。即使它是来自老师或权威，你也要看看它是否能被证明是正确的，然后你才会相信它。

有人列举了几位数学家的话，表示他们也反对数学奥数。

一位是陈省身老师。他说，“对于研究来说，数学竞赛的问题都不是好问题。”陈老师说得对，研究需要创新，而竞赛题都是别人做过的，当然不能作为研究题。另一方面，对于已经产生成果的研究题，可以将其中的基础部分拿出来作为竞赛题。

但陈省身老师从来不反对数学竞赛。相反，听到我国连续获得IMO第一名的消息，他总是很高兴。

另一位是华罗庚老师。有人写文章说华老师因为支持比赛而被检查。事实可能恰恰相反。华老师一直支持竞争。1978年他亲自组织全国数学联赛并亲自作报告和解答。

第三位是丘成桐老师。邱老师确实抱怨，他的几个下属获得了奥数奖，但他们的研究能力并不一定突出。不过，这只是说明竞赛和研究有区别，并不代表邱老师反对数学竞赛。随着许多金牌运动员获得菲尔兹奖，邱先生似乎不再抱怨了。

小孩子要不要学奥数？

近年来，奥数与高等教育挂钩，一度成为奥数的“罪孽”。其实这也是非常可笑的。因为它与高等教育挂钩，所以需要一定的权力。至少只有学校校长或者教育部门的负责人才有这个权力。奥林匹克数学从何而来？因此，奥数显然不应该承担这个罪名。

当然，也有很多中学或大学看重奥数成绩，愿意优先考虑奥数获奖者。这是因为奥数获奖的学生确实很优秀，奖牌也很可靠。在数学奥林匹克竞赛中获得良好声誉是一种荣誉，而不是一种罪恶。

说起学生负担，掂量一下书包就知道：学生的负担太重了！近年来，小学升初中考试取消了，但小学升初中、初中升初中、高中升大学的政策经常发生变化，让学生、老师和父母很困惑，不知道该怎么办。学生不怕考试，就怕考试听不懂，不知道考什么。张景中院士说得好：“如果平时学得多，考得少，负担就轻。反之平时学得少，考得多，负担就重。”因此，在我看来，奥数与学生负担的加重毫无关系。

那么，我们该学奥数吗？这个应该由学生自己决定。如果你有兴趣，可以学习一下。如果你学习了一段时间，兴趣消失了，你可以停止学习。家长没必要强迫孩子学奥数。

当然，学习奥数也是有好处的。它可以开阔你的视野，培养能力（如观察、猜测、推理、演示的能力）。但通常情况下，想要学习奥数的学生应该是数学好的学生，或者至少是在学校能学好数学的学生。有些家长因为孩子数学不好，就强迫孩子学奥数。那是错的。奥数学习不能当辅导。不过，也有一些数学不太好的孩子学习奥数，他们可能会发现自己在数学学习上也有很大的潜力。

有的家长和学生一起学奥数，值得推广。首先，学习可以增进亲情，让你知道进步和困难。最让我感动的是，一位七十多岁的爷爷正在带着孙子学习奥数。事实上，老年人在小学学习奥数是避免老年痴呆症的好方法。这一点在日本和其他国家都得到了证实。

也有人问，为什么中国在IMO连续多年排名第一之后却一度失去头把交椅？

首先，奥数是一场比赛，而比赛总是会发生变化的。永远占据第一是不可能的，所以成为第二或第三也是很正常的。亚洲国家和地区的IMO得分突飞猛进也是有道理的。东亚深受儒家文化影响，历来重视学习。然而，近几十年来，我们的一些教育工作者受到西方教育思想的影响，抛弃了传统的教学方法。结果，教学质量下降，优秀学生没有得到应有的培养，差生依然贫困。

但可以发现，韩国率先扭转了这一局面，重新提出实施精英教育，努力提高教师专业水平。许多数学家也参与了奥数竞赛的指导工作。日本也已经在纠正其松懈的教育。

我认为孔子的因材施教理念还是正确的。应该对不同的人提供不同的教育，让他们发挥各自的特长，实现不同的发展。数学也是如此。奥数也可以说是一种精英教育。

而且，数学家参与数学教育非常重要。就奥数而言，数学家的参与极大地提高了奥数的质量和品味。学生们深受感染，对数学的内容、方法和意义有了更深的认识。一些学生从此决心成为数学家或科学家。

作者：山岩