排列组合高中数学题(高中数学排列组合数字问题)

关于排列数（Arrangement）与组合数（Combination）的运算

Tips:这个考点太难了，不是高考的重要考点。仅在江浙地区的试题中偶尔出现。本课题仅供有学习空间、想要拓展和提高的朋友们研究学习~（感谢数学老师提供问题，答案仅供参考，欢迎探索不同的解法ww）

此类问题大多以求和的形式出现。它们通常需要灵活运用排列组合的多种属性。它们广泛涉及二项式定理、数列、导数等知识点。它们非常有趣且具有挑战性。对于初学者来说，建议先从操作和实际意义两方面推导一下下面的排列数组性质（这里就不附证明了，太累了ww），这样可以对常规排列有更深入的理解。组合问题也会有帮助！下面我将贴出一些比较常用的属性。如有遗漏，欢迎补充！

先来定义一下吧~

排列数：

ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Anm=n#x22C5;(n#x2212;1)#x22C5;(n#x2212;2).(n#x2212;m+1)=n!(n#x2212;m)!#xFF0C;(#x5176;#x4E2D;m,n#x2208;N+#x4E14;m#x2264;n)'角色='演示'，其中Anm=n(n1)(n2).(nm+1)=n!(nm)!(其中m,nN+且mn)A_{n}^{m}=n\cdot(n-1)\cdot(n-2).(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!},（其中m,n\inN^{+}和m\leqn）

并规定rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='0!=1'角色='演示'0!=10!=1

属性1：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Anm=nAn#x2212;1m#x2212;1'角色='演示'Anm=nAn1m1A_{n}^{m}=nA_{n-1}^{m-1}

属性2：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Anm+mAnm#x2212;1=An+1m'角色='演示'Anm+mAnm1=An+1mA_{n}^{m}+mA_{n}^{m-1}=A_{n+1}^{m}

属性3：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='An+1n+1#x2212;Ann=n2An#x2212;1n#x2212;1'角色='演示'An+1n+1Ann=n2An1n1A_{n+1}^{n+1}-A_{n}^{n}=n^{2}A_{n-1}^{n-1}

组合数：

ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cnm=AnmAmm=n#x22C5;(n#x2212;1)#x22C5;(n#x2212;2).(n#x2212;m+1)m!=n!m!(n#x2212;m)!#xFF0C;(#x5176;#x4E2D;m,n#x2208;N+#x4E14;m#x2264;n)'角色='演示'，其中Cnm=AnmAmm=n(n1)(n2).(nm+1)m!=n!m!(nm)!（其中m,nN+且mn）C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2).(n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!},(其中m,n\inN^{+}和m\leqn)

并规定rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cn0=1'角色='演示'Cn0=1C_{n}^{0}=1

属性1：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cnm=Cnn#x2212;m'角色='演示'Cnm=CnnmC_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}

属性2：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cn+1m=Cnm+Cnm#x2212;1'角色='演示'Cn+1m=Cnm+Cnm1C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}

属性3：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='mCnm=nCn#x2212;1m#x2212;1'角色='演示'mCnm=nCn1m1mC_{n}^{m}=nC_{n-1}^{m-1}

属性4：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cnm=nn#x2212;mCn#x2212;1m'角色='演示'Cnm=nnmCn1mC_{n}^{m}=\frac{n}{n-m}C_{n-1}^{米}

属性5：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cnk#x22C5;Cn#x2212;km#x2212;k=Cnm#x22C5;Cmk'角色='演示'CnkCnkmk=CnmCmkC_{n}^{k}\cdotC_{n-k}^{m-k}=C_{n}^{m}\cdotC_{m}^{k}

属性6：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='k2Cnk=n(n#x2212;1)Cn#x2212;2k#x2212;2+nCn#x2212;1k#x2212;1'角色='演示'k2Cnk=n(n1)Cn2k2+nCn1k1k^2C_{n}^{k}=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}+nC_{n-1}^{k-1}

记住这些属性了吗？让我们开始下面的示例挑战！

（注：示例中的m、n、k均为正整数）

例1：从装有n+1个不同小球的袋子中取出m个小球，总共rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='Cn+1m'role='presentation'Cn+1mC_{n+1}^m种方式。这里rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cn+1m'role='presentation'Cn+1mC_{n+在1}^m种检索方法中，可以看作分为两类：第一类是指定球尚未被检索过获取到，总共rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C10#x22C5;Cnm'角色='演示'C10CnmC_1^0\cdotC_n^m;第二种是取指定球，totalrame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C11#x22C5;Cnm#x2212;1'role='presentation'C11Cnm1C_1^1\cdotC_n^{m-1}种方式，即有'tabindex='0'样式='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C10#x22C5;Cnm'角色='演示文稿'C10CnmC_1^0\cdotC_n^m+rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C11#x22C5;Cnm#x2212;1'角色='演示'C11Cnm1C_1^1\cdotC_n^{m-1}=rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cn+1m'角色='演示'Cn+1mC_{n+1}^m选项。基于以上思路，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cnm+Ck1#x22C5;Cnm#x2212;1+Ck2#x22C5;Cnm#x2212;2+.+Ckk#x22C5;Cnm#x2212;k=C#x03B1;#x03B2;#xFF0C;#x6C42;#x03B1;#x03B2;#x7684;#x503C;'role='presentation'，求值Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+.+CkkCnmk=C，求,的值C_n^m+C_k^1\cdotC_n^{m-1}+C_k^2\cdotC_n^{m-2}+.+C_k^k\cdotC_n^{m-k}=C_\alpha^\beta，求\alpha,\beta价值

分析：这道题我给你思路了，没那么难，=n+k+1，=m。不过如果去掉背景的话，杀伤力应该更大。

示例2：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x2211;k=0mCn#x2212;kn#x2212;m#x22C5;Cnk=?'角色='演示'k=0mCnknmCnk=?\sum_{k=0}^{m}{C_{n-k}^{n-m}\cdotC_{n}^{k}}=?

分析：当基数n一定时，组合数的大部分性质和运算显然是成立的。对于一个变化的基数n-k，我们自然想要尝试用一个常数常数来代替它，而由于求和的形式是两个公式的乘法，所以很自然地我们想到了组合数性质5，所以我们有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cn#x2212;kn#x2212;m#x22C5;Cnk=Cn#x2212;k(n#x2212;k)#x2212;(n#x2212;m)#x22C5;Cnk=Cn#x2212;km#x2212;k#x22C5;Cnk=Cnm#x22C5;Cmk'角色='演示'CnknmCnk=Cnk(nk)(nm)Cnk=CnkmkCnk=CnmCmkC_{n-k}^{n-m}\cdotC_{n}^{k}=C_{n-k}^{(n-k)-(n-m)}\cdotC_{n}^{k}=C_{n-k}^{m-k}\cdotC_{n}^{k}=C_{n}^{m}\cdotC_{m}^{k}，rame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cnm'role='presentation'CnmC_{n}^{m}是一个常数。提出后就变成rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cmk'role='presentation'CmkC_{m}^{k}的求和，很容易知道rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cmk'role='presentation'CmkC_{m}^{k}之和为2m次方，所以答案为：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;k=0mCn#x2212;kn#x2212;m#x22C5;Cnk=2mCnm'角色='演示'k=0mCnknmCnk=2mCnm\sum_{k=0}^{m}{C_{n-k}^{n-m}\cdotC_{n}^{k}}=2^mC_n^m。

示例3：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C22+C32+C42.+C112=?'角色='演示'C22+C32+C42.+C112=?C_2^2+C_3^2+C_4^2.+C_{11}^2=?

分析：这道题是一道常规题型，很简单。就用杨辉的三角形属性，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C22=C33'role='presentation'C22=C33C_2^2=C_3^3，然后一路相加得到结果rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C123=220'角色='演示'C123=220C_{12}^3=220。

示例4：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x2211;k=1n+1Cnk#x2212;1k#x22C5;2k=?'角色='演示'k=1n+1Cnk1k2k=?\sum_{k=1}^{n+1}{\frac{C_n^{k-1}}{k\cdot2^{k}}}=？

分析：从这道题开始，逐渐开始变化……仔细看的话，应该能发现二项式定理的影子。但C的上端并没有与2的指数对齐，相差1，而且还有一个分母。k，那么很自然的想要将k消去为一个常数，然后将k-1与k对齐。正好我们手里的属性3可以一石二鸟，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Cnk#x2212;1=kn+1Cn+1k'角色='演示'Cnk1=kn+1Cn+1kC_n^{k-1}=\frac{k}{n+1}C_{n+1}^{k}，于是原公式Perfect就变成了二项式定理rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(1+12)n+1'role='presentation'(1+12)n+1(1+\frac{1}{2})^{n+1}，不要忘记减去末尾的0项。终于得到答案：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;k=1n+1Cnk#x2212;1k#x22C5;2k=(32)n+1#x2212;1n+1'角色='演示'k=1n+1Cnk1k2k=(32)n+11n+1\sum_{k=1}^{n+1}{\frac{C_n^{k-1}}{k\cdot2^{k}}}=\frac{(\frac{3}{2})^{n+1}-1}{n+1}。

例5：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;k=2n(k+1)2Cnk=?'角色='演示'k=2n(k+1)2Cnk=?\sum_{k=2}^{n}{(k+1)^2C_n^k}=?

分析：该问题有两种解决方案。

1、啥也不说了，拆下来一步一步求和：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;k=2n(k+1)2Cnk=#x2211;k=2nk2Cnk+2#x2211;k=2nkCnk+#x2211;k=2nCnk'角色='演示'k=2n(k+1)2Cnk=k=2nk2Cnk+2k=2nkCnk+k=2nCnk\sum_{k=2}^{n}{(k+1)^2C_n^k}=\sum_{k=2}^{n}{k^2C_n^k}+2\sum_{k=2}^{n}{kC_n^k}+\sum_{k=2}^{n}{C_n^k}

后两项求和比较容易，前者为二项式rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'

data-mathml="(1+x)n"role="presentation">(1+x)n(1+x)^n展开式求导，后者运用基本性质，最后减去前两项，可以得到：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="2∑k=2nkCnk=n2n?2n"role="presentation">2∑k=2nkCnk=n2n?2n2\sum_{k=2}^{n}{kC_n^k}=n2^n-2n，以及rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="∑k=2nCnk=2n?n?1"role="presentation">∑k=2nCnk=2n?n?1\sum_{k=2}^{n}{C_n^k}=2^n-n-1.对于第一项求和，运用性质6就可以化成常见形式，于是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="∑k=2nn(n?1)Cn?2k?2+∑k=2nnCn?1k?1=n(n?1)2n?2+n2n?1?n"role="presentation">∑k=2nn(n?1)Cn?2k?2+∑k=2nnCn?1k?1=n(n?1)2n?2+n2n?1?n\sum_{k=2}^{n}{n(n-1)C_{n-2}^{k-2}+\sum_{k=2}^nnC_{n-1}^{k-1}}=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}-n.最后加起来，化简可以得到结果rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="∑k=2n(k+1)2Cnk=(n+1)(n+4)2n?2?4n?1"role="presentation">∑k=2n(k+1)2Cnk=(n+1)(n+4)2n?2?4n?1\sum_{k=2}^{n}{(k+1)^2C_n^k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}-4n-1.

2.其实导数在二项式中的威力远超你的想象。对于这种连续项相乘的问题，无论系数是否对齐，无论加了多少次方，我们基本都可以用求导来解决。想要造出不齐的系数，在展开式的幂结构中同时乘以x的n次方就可以解决。比如：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[(1+x)n]′=[Cn0+Cn1x+Cn2x2+...+Cnnxn]′=Cn1+2Cn2x+...+nCnnxn?1"role="presentation">[(1+x)n]′=[Cn0+Cn1x+Cn2x2+...+Cnnxn]′=Cn1+2Cn2x+...+nCnnxn?1[(1+x)^{n}]^{}=[C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n]^{}=C_n^1+2C_n^2x+...+nC_n^nx^{n-1}

同时乘以x后：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[x(1+x)n]′=[Cn0x+Cn1x2+Cn2x3+...+Cnnxn+1]′=Cn0+2Cn1x+3Cn2x2+...+(n+1)Cnnxn"role="presentation">[x(1+x)n]′=[Cn0x+Cn1x2+Cn2x3+...+Cnnxn+1]′=Cn0+2Cn1x+3Cn2x2+...+(n+1)Cnnxn[x(1+x)^{n}]^{}=[C_n^0x+C_n^1x^2+C_n^2x^3+...+C_n^nx^{n+1}]^{}=C_n^0+2C_n^1x+3C_n^2x^2+...+(n+1)C_n^nx^{n}

连续系数就成功加上了1。那么对于本题，两边同时乘以一个x,rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[x(1+x)n]′=(1+x)n+nx(1+x)n?1"role="presentation">[x(1+x)n]′=(1+x)n+nx(1+x)n?1[x(1+x)^{n}]^{}=(1+x)^n+nx(1+x)^{n-1}再次在求导后的等式两边同乘x，再求导，就可以得到系数的二次方了。rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[x(1+x)n+nx2(1+x)n?1]′=(1+x)n+3nx(1+x)n?1+n(n?1)x2(1+x)n?2"role="presentation">[x(1+x)n+nx2(1+x)n?1]′=(1+x)n+3nx(1+x)n?1+n(n?1)x2(1+x)n?2[x(1+x)^n+nx^2(1+x)^{n-1}]^{}=(1+x)^n+3nx(1+x)^{n-1}+n(n-1)x^2(1+x)^{n-2}

最后赋值1，减去前两项，可以得到相同结果。

(累了，下面几道题大家可以自己先做，有空再打解析）

例6：设rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="P(n,m)=∑k=0n(?1)kCnkmm+k"role="presentation">P(n,m)=∑k=0n(?1)kCnkmm+kP(n,m)=\sum_{k=0}^{n}{(-1)^kC_n^k\frac{m}{m+k}}，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Q(n,m)=Cn+mn"role="presentation">Q(n,m)=Cn+mnQ(n,m)=C_{n+m}^n.

(1).若m=1，求rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="P(n,1)?Q(n,1)"role="presentation">P(n,1)?Q(n,1)P(n,1)\cdotQ(n,1)的值。

(2).对于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="?m∈N+"role="presentation">?m∈N+\forallm\inN^+,证明：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="P(n,m)?Q(n,m)"role="presentation">P(n,m)?Q(n,m)P(n,m)\cdotQ(n,m)恒为定值。

例7：证明：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="∑k=1n(?1)k+1Cnkk=∑k=1n1k"role="presentation">∑k=1n(?1)k+1Cnkk=∑k=1n1k\sum_{k=1}^{n}{\frac{(-1)^{k+1}C_n^k}{k}}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}.

例8：化简：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="∑i=02n(?1)inC2ni?∑j=02n(?1)jjC2nj"role="presentation">∑i=02n(?1)inC2ni?∑j=02n(?1)jjC2nj\sum_{i=0}^{2n}{\frac{(-1)^in}{C_{2n}^i}}-\sum_{j=0}^{2n}{\frac{(-1)^jj}{C_{2n}^j}}.