已知三角形三边求面积(已知三角形三边求角度)

从三角形的稳定性我们知道，三角形的三边确定后，它的形状也就确定了。那么，已知三角形三边长，如何计算三角形三个内角的尺寸呢？

对于这个问题，可以说前人已经做好了准备。首先，我们将介绍没有公式和函数表的行进三角学。第二单元将讨论该问题的常见解决方案。

大大简化的行军三角学

《趣味几何学》第5章：没有公式和函数表的行进三角函数。

本章以极其简化的形式介绍了三角学。首先简单介绍了正弦函数的概念，然后讨论了如何自己编写正弦函数表。当然，由于是简化三角学，所以这张表给出了0到90之间每1度的角度的正弦值，精确到小数点后两位。

由于代数课本上讲授的平方根法很容易忘记，贝莱曼推出了一种易于理解和掌握的平方根法。

接下来介绍一种基于已知正弦值求角度的近似方法。就这样，贝利曼完成了所有的准备工作。现在我们可以求出角度的正弦值，以及由正弦值得出的角度，其精度符合简化三角学的要求。

当你在乡村旅行，没有三角函数表，忘记了三角函数公式时，这个简化的三角函数就非常有用了。它可以以2%的精度计算三角形的边长，以1的精度计算三角形的内角。例如，罗宾逊可以使用这种简化的三角学来解决荒岛上的许多问题。

这个简化的三角学仅使用正弦函数。这够了吗？关于这个问题，作者用了5个例子来证明，只知道正弦函数就完全足够了。选定的示例问题：三角形面积

[提问]在旅途中，我们用脚步量了一个三角形的三边长。分别是43级、60级和54级。这个三角形的三个角各有多少度？

问题背景

书名来自苏联科普作家贝莱利曼的经典著作《趣味几何学》。

【解】这个从三边解三角形的问题是解三角形中最复杂的情况。但我们还有一种方法可以解决这个问题，无需使用除正弦之外的任何其他三角函数。

画出三角形最长边AC的高BD（图96），可得：

BD=43-AD,

BD=54-DC，

由上面两个方程我们得到：

43-AD=54-DC，

DC-AD=54-43=1070。

但

DC-AD=(DC+AD)(DC-AD)

=60(直流-AD)。

所以

60(直流-AD)=1070,

直流-AD=17.8。

从DC-AD=17.8，

直流+AD=60，

得：2DC=77.8，

即DC=38.9。

现在计算三角形的高度并不困难：

BD=(54-38.9)=37.4,

从这里可以找到：

SinA=BD:AB=37.4:43=0.87，

A60。

sinC=BD:BC=37.4:54=0.69，

C44。

第三个角

B=180-(A+C)=76。

如果我们现在用学校三角课本上教给我们的方法，用函数表来解决这个问题，那么我们立刻就能得到每个角度的度数，精确到几分钟几秒。但我们可以断定，这几秒一定是错误的，因为用脚测量的三角形边长至少会有2%到3%的误差。因此，我们不必欺骗自己；我们必须将获得的角度的“精确”值转换为至少一个整数度数。那么我们得到的答案将和我们简化时一样。所以，在这种情况下，我们的“行进三角法”确实非常实用。

普通方法解答例题三角形地区

总体思路是利用余弦定律来解决问题。我们先看一下公式：

上图是余弦定理的基本公式。虽然公式是三个，但是写完一个之后，通过循环代入就可以得到另外两个。

当我们要求边缘时，有变体1：

如果您需要角度，有两种变体：

求角度的变化1

还有另一种变体：

求角度的变式2

还有一些关于特殊角落的提示：

角点转换的几种特殊情况

余弦定理还有角元形式：

余弦定理还有另一个有用的变体：

请参阅下图来查找区域：

现在回到示例问题的三角形区域，我们使用余弦定理的变体2来求角度。

接下来，我们首先求角度A，直接套用公式，我们可以得到：

使用MicrosoftMath计算反三角函数

上图中计算出的角度A的度数为弧度。我们将其转换为角度：

弧度180=角度

1.

=60.

=60.6

顺便说一句，已知角度转换为弧度的公式是：弧度=角度180

接下来继续找角B。

同样可以说，

角度B（弧度）

将弧度转换为角度：

那么，C角也知道：

C=180-(60.6+75.5)=43.9

还有一个问题。如果出题的老师把问题从已知的三个边改成已知的两个边和角度，还会做吗？

很简单，看下图：

特别收录

资料来自张敬中老师的科普书。

对于仅使用正弦函数的简化三角函数，下表最合适。

总结和感想

《趣味几何学》是苏联著名科普作家贝莱利曼的100多部作品之一。

本书不仅是为数学爱好者而写的，也是为尚未发现数学中许多迷人事物的读者而写的。

许多读者在学校学习过几何（或目前正在学习几何），但不习惯关注我们周围世界中常见的几何关系。没有实际应用几何知识。当生活中遇到困难时，郊游、露营时，我不知道如何运用所学的几何知识。

激发读者对几何的兴趣，或者用作者的话说：“激发学习它的欲望，培养学习它的爱好，是本书的主要任务。”

为此，作者带领几何走出学校教室的围墙，走出科学的围困，走向户外，走向树林，走向田野，走向河流，走向道路，摆脱课本和函数表，并且不受约束。实地做几何作业，用几何知识重新认识美丽的世界……

例如，没有公式的行进几何就是函数表。很多学生被课本上几十个三角函数公式吓倒，但简化三角函数不需要公式和函数表，仅用正弦函数就可以解决很多实际问题，而且精度满足行进三角函数的要求。

例如，在本文提到的三已知边的三角问题中，常见的思路是利用余弦定理来解决问题。作者坚信行进三角函数的存在，因此只用正弦函数就可以解决问题。而且，看整本书，我其实并没有用到正弦定理。我觉得用了就不算犯规。

在这里，你还可以感受到信仰的力量。因为你相信，所以你看见。因此，您可以超越传统思维的局限性，仅使用正弦函数就能看到美妙的解决方案。

作者的精彩解答包括正弦函数的概念、毕达哥拉斯定理、平方差的公式、方程组、小学数学中的和差问题等知识点。这些知识点并不难，但作者的综合手法和灵活应用令人惊叹。

这背后有一个原则：熟能生巧。熟练不仅可以做到完美，还可以带来扎实和灵活。所以，世界上没有免费的午餐。同学们，学习没有捷径。请从多练习开始！

今天是七夕节，祝大家七夕快乐！