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虽然受访者在辅导小学生数学时不会提及集合论、群论等大学数学知识，但他会有意利用这些大学数学知识来探索数学原理的实际意义，从而想办法让孩子们建立知识和现实之间的联系，然后建立解决问题的总体思路。
除法加减法的分配律只适用于被除数是和与差的情况，这与分数的群论定义有关。从现实模型来看，以问题中的公式为例，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='72#x00F7;4+72#x00F7;6'角色='演示文稿'724+\div4+72\div6
其含义是：
首先放置rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='72'role='presentation'7272个球在四个上均匀标记其中一个袋子中的球。然后把这些小球拿出来，均匀地放进六个袋子里。要求其中一个袋子里的小球没有标记。然后再次在这个袋子里的小球上做标记。最后取出小球，做有多少个标记的球？在除法中，运算的第一项称为被除数，运算的第二项称为除数。这是因为，股息代表要平均分配的金额，而除数则代表“平均分配”的金额。因此，除法的除数加减不满足分配律。
小学数学中，一般只强调四种算术运算的运算顺序。
就是先乘除再加减（乘除可以导致新的数量和新的单位出现，加减运算必须是相同的数量和相同的单位），所有简单的运算都必须是按照“同级运算从左到右进行，不同级运算先乘除，后加减”的规则，从左到右进行，只有计算结果为一致，显然
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='72#x00F7;4+72#x00F7;6=18+12=30#x2260;7.2'角色='演示文稿'724+726=18+12=307.272\div4+72\div6=18+12=30\neq7.2在接触了集合论和群论之后，我也重新思考了这个问题，现在终于找到了答案。
首先，自然数之所以被称为自然数，是因为它们确实是“自然”的——，它直接来自于计数对象。以下答案证明“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='1+1=2'role='presentation'1+1=21+1=2”，给出了自然数的定义。
为什么1+1等于2？41条赞·2条评论回答我认为自然数的加法可以这样定义：
设置rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a=卡(A),b=卡(B),A#x2229;B=#x2205;'角色='演示'a=card(A),b=card(B),AB=a=\text{card}(A),b=\text{card}(B),A\capB=\emptyset，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a+b=card(A#x222A;B)'role='presentation'a+b=card(AB)a+b=\text{card}(A\cupB)也就是说，两个不相交集合的元素数量之和等于这两个不相交集合的并集的元素数量。我认为自然数的乘法可以这样定义：
设置rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a=card(A),b=card(B)'角色='演示'a=card(A),b=card(B)a=\text{card}(A),b=\text{card}(B)，则rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a#x00D7;b=card(A#x00D7;B)'角色='演示'ab=card(AB)a\timesb=\text{card}(A\timesB)即，两个集合的元素个数的乘积等于两个集合的直接乘积的元素个数。利用集合元素的确定性、相互性和无序性，可以证明自然数的加法满足交换律和结合律，自然数的乘法满足交换律和结合律，自然数的乘法和加法满足交换律和结合律。自然数满足分配律。
半群的定义是如果操作系统（书上常称为代数系统）rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x27EE;S，f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS,f\rgroup满足结合律，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;a,b,c#x2208;S|f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))'角色='演示'a,b,cS|f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))\对于所有a,b,c\inS|f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))，则rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS,f\rgroup称为半群。
因此可以得出rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x27EE;N,+#x27EF;'角色='演示文稿'N,+\lgroup\mathbb{N},+\rgroup和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x27EE;N,#x00D7;#x27EF;'角色='演示'N,\lgroup\mathbb{N},\times\rgroup
都是半群。还因为
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;N|0+x=x+0=x'角色='演示'xN|0+x=x+0=x\forallx\in\mathbb{N}|0+x=x+0=xram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;N|0#x00D7;x=x#x00D7;0=0'角色='演示'xN|0x=x0=0\forallx\in\mathbb{N}|0\timesx=x\times0=0rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;N|1#x00D7;x=x#x00D7;1=x'角色='演示'xN|1x=x1=x\forallx\in\mathbb{N}|1\timesx=x\times1=x所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x27EE;N,+#x27EF;'role='presentation'N,+\lgroup\mathbb{N},+\rgroup是元素为rame'的幺半群'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='0'角色='演示'00，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x27EE;N,#x00D7;#x27EF;'角色='演示'N,\lgroup\mathbb{N},\times\rgroup是随机的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='0'role='presentation'00，统一为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='1'role='presentation'11的幺半群。组的定义是，如果计算系统rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS,f\rgroup满足结合律，且存在酉，而设定的rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='S'role='presentation'SS中的每个元素都存在关于操作rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f'role='presentation'ff的逆元素，则操作系统rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS，f\rgroup称为群。如果运行rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f'role='presentation'ff满足交换律，则群'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS,f\rgroup称为阿贝尔群。
首先是半群的定义，然后是群的定义。我们来看看半群中的“半”字是什么意思。对于自然数的加法，半群仅限于数轴非负半轴上的所有整数（即具有整数坐标的点），而整数的加法群扩展到整个数上的所有整数轴。黑体字说明了《半群》中“半”字的由来。
自然数及其加法和乘法不形成群，因为并非自然数集合中的所有元素都有自己的加法和乘法逆元素。因此，我们需要将自然数的加法半群和自然数的乘法半群扩展到群。通过将半群扩展到群，我们得到了有理数的公理定义。如果我们将一系列收敛有理数常数项放入其中，我们就得到了实数。
我们想要'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x27EE;N,+#x27EF;'role='演示'N,+\lgroup\mathbb{N},+\rgroup和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x27EE;N,#x00D7;#x27EF;'role='presentation'N,\lgroup\mathbb{N},\times\rgroup都展开称为阿贝尔群，但有一点需要注意：半群rame'tabindex='0'style='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x27EE;N,#x00D7;#x27EF;'role='presentation'N,\lgroup\mathbb{N},\times\rgroup不能直接扩展称为阿贝尔群，因为设置的rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='N'role='presentation'N\mathbb{N}多个元素，零个元素'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='0'role='presentation'00不能有乘法的逆运算。查看具体信息
为什么分母（除数）不能为0？214同意·14条评论如果0可以用作除数，会给数学带来什么变化？12同意·5条评论回答扩容的具体过程这里不讨论。这里只给出两个展开群，即有理数加法群rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x27EE;Q,+#x27EF;'role='presentation'Q,+\lgroup\mathbb{Q},+\rgroup与非零有理数组的乘法'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x27EE;Q#x2216;{0},#x00D7;#x27EF;'角色='演示'Q{0},\lgroup\mathbb{Q}\setminus\{0\},\times\rgroup.非零有理数的乘法群rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x27EE;Q#x2216;{0}，#x00D7;#x27EF;'role='presentation'Q{0},\lgroup\mathbb{Q}\setminus\{0\},\times\r群的展开使得归约有了群论
依据。我们将有理数的加法逆元称为有理数的逆元，将有理数的乘法逆元称为倒数。然后定义了一个数的相反数相加是该数的减法，一个数的倒数相乘是该数的除法。这样就有了减法和除法。
然后我们需要将加法和乘法运算关联起来，于是就有了环和域。我们来谈谈领域。该域的定义是，如果操作系统rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x27EE;S,f,g#x27EF;'role='presentation'S,f,g\lgroupS,f,g\rgroup满足
1)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x27EE;S,f#x27EF;'role='presentation'S,f\lgroupS，f\rgroup是阿贝尔群，其酉单位记为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='o'角色='presentation'oo.
2)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x27EE;S#x2216;{o},g#x27EF;'role='presentation'S{o},g\lgroupS\setminus\{o\},g\rgroup是阿贝尔群。
3）操作ram'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='g'role='presentation'gg操作rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f'role='presentation'ff可赋值，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;a,b,c#x2208;S|f(g(a,c),g(b,c))=f(g(a,
b),c)"role="presentation">?a,b,c∈S|f(g(a,c),g(b,c))=f(g(a,b),c)\foralla,b,c\inS|f(g(a,c),g(b,c))=f(g(a,b),c)则运算系统rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="?S,f,g?"role="presentation">?S,f,g?\lgroupS,f,g\rgroup称作域。现在我们需要构建一个有理数的加法乘法域，那就需要对所有的有理数都必须满足乘法对加法的分配律。域解决了分数的加减法的问题。
根据分配律计算两个分数的和差：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="y1x1+y2x2"role="presentation">y1x1+y2x2\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}必须保证rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="?a∈Q|(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a"role="presentation">?a∈Q|(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a\foralla\in\mathbb{Q}\left|\left(\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}\right)a=\frac{y_1}{x_1}\timesa+\frac{y_2}{x_2}\timesa\right.
（分配律公理）．
因而选取一个rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a∈N"role="presentation">a∈Na\in\mathbb{N}，使得rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a"role="presentation">(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a\left(\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}\right)a=\frac{y_1}{x_1}\timesa+\frac{y_2}{x_2}\timesa，这里取rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a=lcm(x1,x2)"role="presentation">a=lcm(x1,x2)a=\text{lcm}(x_1,x_2)，并令rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="a=l1x1=l2x2"role="presentation">a=l1x1=l2x2a=l_1x_1=l_2x_2，则
rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a=l1y1+l2y2"role="presentation">(y1x1+y2x2)a=y1x1×a+y2x2×a=l1y1+l2y2\left(\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}\right)a=\frac{y_1}{x_1}\timesa+\frac{y_2}{x_2}\timesa=l_1y_1+l_2y_2所以rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="y1x1+y2x2=(l1y1+l2y2)×1a=l1y1+l2y2lcm(x1,x2)"role="presentation">y1x1+y2x2=(l1y1+l2y2)×1a=l1y1+l2y2lcm(x1,x2)\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=(l_1y_1+l_2y_2)\times\frac{1}{a}=\frac{l_1y_1+l_2y_2}{\text{lcm}(x_1,x_2)}，这就是分数的加减法为什么要先通分的原因。那么rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="724+726"role="presentation">724+726\frac{72}{4}+\frac{72}{6}能否等于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="724+6"role="presentation">724+6\frac{72}{4+6}呢？由于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="72"role="presentation">7272是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="4"role="presentation">44和rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="6"role="presentation">66的公倍数，所以我们很快能够算出rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="724=18,726=12"role="presentation">724=18,726=12\frac{72}{4}=18,\frac{72}{6}=12，而rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="724+6=7.2"role="presentation">724+6=7.2\frac{72}{4+6}=7.2，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="18+12=30≠7.2"role="presentation">18+12=30≠7.218+12=30\neq7.2，因而若rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="14+16=110"role="presentation">14+16=110\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{1}{10}将使得分配律失效，因而分数的加减法必须是先通分，然后分子相加。
吐槽一下小学数学课本的内容顺序安排。讲完分数的意义和性质后，不应该先讲分数的加减法，而是就着学生们学习完约分之后的“热情”马上教给学生们学习分数的乘除法。教分数应当先教乘除后教加减。