泰勒公式秒杀高考导数压轴题(泰勒公式解高中导数)
基础知识
1.带拉格朗日余项的泰勒公式
如果函数ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)'角色='演示'f(x)f(x)在点rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x0'role='presentation'x0x_{0}附近有内存'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(n+1)'role='presentation'(n+1)(n+1)阶导数，则邻域与rame不同tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x0'role='presentation'x0x_{0}在任意时刻，都有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x03BE;'角色='呈现'xi\xi之间ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='x'角色='演示文稿'xx和rame'tabindex='0'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x0'role='presentation'x0x_{0}时候，使用
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=f(x0)+f#x2032;(x0)(x#x2212;x0)+f#x2212;(x0)2!(x#x2212;x0)+#x22EF;+f(n)(x0)n!(x#x2212;x0)+Rn(x)'角色='演示'f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f”(x0)2!(xx0)++f(n)(x0)n!(xx0)+Rn(x)f(x)=f(x_{0})+f(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f(x_{0})}{2!}(x-x_{0})+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})+R_{n}(x)
那么我们就可以得到rame中的几个初等函数'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x0=0'role='presentation'x0=0x_{0}=0处的麦克劳林公式
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ex=1+x+12!x2+13!x3+#x22EF;'角色='演示'ex=1+x+12!x2+13!x3+\begin{align}e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+\cdots\\\end{对齐}
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#x2061;x=x#x2212;13!x3+15!x5#x2212;17!x7+#x22EF;'角色='演示'sinx=x13!x3+15!x517!x7+\sinx=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}{x^5}-\frac1{7!}x^7+\cdots
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='cos#x2061;x=1#x2212;12!x2+14!x4#x2212;16!x6+#x22EF;'角色='演示'cosx=112!x2+14!x416!x6+\cosx=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4-\frac1{6!}x^6+\cdots
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ln#x2061;(1+x)=x#x2212;12x2+13x3#x2212;14x4+#x22EF;'角色='演示'ln(1+x)=x12x2+13x314x4+\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots
2.得到的不等式
使用麦克劳克林公式，我们可以得到许多不等式。这里有一些例子。
关于rame的不等式'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ex'角色='演示'exe^{x}
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ex#x2265;1+x,x#x2208;R'角色='演示'ex1+x,xR\begin{align}e^x\geq1+x,x\inR\\\结束{对齐}
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ex#x2265;1+x+12!x2,x#x2208;[0,+#x221E;)'角色='演示'ex1+x+12!x2,x[0,+)\begin{align}e^x\geq1+x+\frac1{2!}x^2,x\in\left[0,+\infty\right)\\\end{align}
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ex#x2265;1+x+12!x2+13!x3,x#x2208;R'角色='演示'ex1+x+12!x2+13!x3,xR\开始{对齐}e^x\geq1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3,x\inR\\\end{align}
关于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#x2061;x'role='presentation'sinx\sinx不等式
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#x2061;x#x2264;x,x#x2208;[0,+#x221E;)'role='演示'sinxx,x[0,+)\sinx\leqx,x\in\left[0,+\infty\right)
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#x2061;x#x2265;x#x2212;13!x3,x#x2208;[0,+#x221E;)'角色='演示'sinxx13!x3,x[0,+)\sinx\geqx-\frac1{3!}x^3,x\in\left[0,+\infty\right)
证明这些不等式非常简单（考试中的大题需要证明）。只需求差、求导即可轻松证明。读者可以对rame得出自己的结论'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='cos#x2061;x'角色='演示'cosx\cosx和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ln#x2061;(1+x)'角色='演示'ln(1+x)\ln(1+x)不等式。
几道例题
1.（2022·全国甲卷理科数学）
已知RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a=3132'角色='演示'a=3132a=\frac{31}{32}，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='b=cos#x2061;14'角色='演示'b=cos14b=\cos\frac{1}{4}，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='c=4sin#x2061;14'role='presentation'c=4sin14c=4\sin\frac{1}{4}，然后()。
A.ba'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='cgt;bgt;a'角色='演示'cbacbaB。ac'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='bgt;agt;c'角色='演示'bacbacC.bc'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='agt;bgt;c'角色='演示'abcabcD.cb'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='agt;cgt;b'role='presentation'acbacb解易智rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x2208;(0,1)'role='presentation'x(0,1)当x\in\left(0,1\right)时，有x-\frac1{3!}x^3'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#x2061;xgt;x#x2212;13!x3'角色='演示'sinxx13!x3\sinxx-\frac1{3!}x^3,1-\frac{x^{2}}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='cos#x2061;xgt;1#x2212;x22'role='presentation'cosx1x22\cosx1-\frac{x^{2}}{2}，则
1-\frac{(\frac{1}{4})^{2}}{2}=\frac{31}{32}=a'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='b=cos#x2061;14gt;1#x2212;(14)22=3132=a'角色='演示'b=cos141(14)22=3132=ab=\cos\frac{1}{4}1-\frac{(\frac{1}{4})^{2}}{2}=\frac{31}{32}=a
4(\frac{1}{4}-\frac{(\frac{1}{4})^{3}}{6})=\frac{95}{96}a'rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='c=4sin#x2061;14gt;4(14#x2212;(14)36)=9596gt;a'角色='演示'c=4sin144(14(14)36)=9596ac=4\sin\frac{1}{4}4(\frac{1}{4}-\frac{(\frac{1}{4})^{3}}{6})=\frac{95}{96}一个
排除BCD，选择A。
2.
证明：\frac{3}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='tan#x2061;1gt;32'角色='演示'tan132\tan1\frac{3}{2}。解决方案一（在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x=#x3C0;3'role='presentation'x=3x=\frac{}{3}成rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='y=tan#x2061;x'角色='演示'y=tanxy=\tanx切线)
在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=#x3C0;3'角色='演示'x=3x=\frac{}{3}无处不在'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=tan#x2061;x'角色='演示'y=tanxy=\tanx切线'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=4(x#x2212;#x3C0;3)+3'角色='演示'y=4(x3)+3y=4(x-\frac{}{3})+\sqrt{3},
让rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=tan#x2061;x#x2212;4(x#x2212;#x3C0;3)#x2212;3'角色='演示'f(x)=tanx4(x3)3f(x)=\tanx-4(x-\frac{}{3})-\sqrt{3},
导数，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f#x2032;(x)=sec2#x2061;x#x2212;4'角色='演示'f(x)=sec2x4f(x)=\sec^{2}x-4,
然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)'角色='演示'f(x)f(x)inRAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(1,#x3C0;3)'role='presentation'(1,3)(1,\frac{}{3})单调递减，因此f(\frac{}{3})'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(1)gt;f(#x3C0;3)'role='presentation'f(1)f(3)f(1)f(\frac{}{3})，你可以get\frac{3}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='tan#x2061;1gt;32'角色='演示'tan132\tan1\frac{3}{2}。
方法2（使用泰勒公式获得的不等式的缩放）
证明\frac{3}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='tan#x2061;1gt;32'role='presentation'tan132\tan1\frac{3}{2}，即certificate\frac{3}{2}\cos1'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#x2061;1gt;32cos#x2061;1'角色='演示'sin132cos1\sin1\frac{3}{2}\cos1,
易正拉姆'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x2208;(0,1]'role='presentation'当x(0,1]x\in\left(0,1\right]时，有x-\frac1{3!}x^3'rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='sin#x2061;xgt;x#x2212;13！x3'role='presentation'sinxx13!x3\sinxx-\frac1{3!}x^3,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;位置：相对；颜色：绿色；'data-mathml='cos#x2061;xlt;1#x2212;12!x2+14!x4'角色='演示'cosx112!x2+14!x4\cosx1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4,
应用上述公式，证明\frac{3}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='tan#x2061;1gt;32'角色='演示'tan132\tan1\frac{3}{2}。
几道练习
1.
已知RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='f(x)=sin#x2061;x#x2212;x+mx33'角色='演示'f(x)=sinxx+mx33f(x)=\sinx-x+\frac{mx^{3}}{3},如果对于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;x#x2265;0'角色='演示'x0\forallx\geq0，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)#x2265;0'role='presentation'f(x)0f(x)\geq0始终为真，查找rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m'角色的取值范围='presentation'mm。
2.（2020·全国卷理科数学）
已知函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=ex+ax2#x2212;x'角色='演示'f(x)=ex+ax2xf(x)=e^{x}+ax^{2}-x。
（1）当rame'tabindex='0'style='font-size:100%时；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a=1'role='presentation'a=1a=1次，讨论rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)'role='表示'f(x)f(x)单调性；
（2）当rame'tabindex='0'style='font-size:100%时；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x2265;0'角色='演示'x0x\geq0，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)#x2265;12x3+1'角色='演示'f(x)12x3+1f(x)\geq\frac{1}{2}x^{3}+1,找到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'role='presentation'aa值范围。
3.（2020·全国卷理科数学改编）
已知函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=ex+ax2#x2212;x'角色='演示'f(x)=ex+ax2xf(x)=e^{x}+ax^{2}-x.当rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x2265;0'角色='演示'x0x\geq0，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)#x2265;16x3+1'角色='演示'f(x)16x3+1f(x)\geq\frac{1}{6}x^{3}+1,找到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a'role='presentation'aa值范围。
写在最后
很多同学都有疑问，高考数学需要掌握泰勒公式这样的高级概念吗？事实上，泰勒公式很基础，并不像一些学生想象的那么难。那么掌握泰勒公式有助于解决什么样的问题呢？
需要使用构造器比较大小的一类题，如2022年理数国卷A第12题（选择最后一题）、2022年新高考第一卷第7题等。是基于泰勒公式。对于大导数题，利用泰勒公式设题的方法有很多种。通常可以利用终点效应来设置问题。当然，还有像2020年全国第一卷科学数学第21题那样极值点的处理。总之，我们泰勒公式等高层思想不能忽视，而应该深入理解。