三角形内心垂心五心(三角形垂心有什么性质越多越好,急用)

三角形的奇迹首先体现在每个“心”上：三角形内部的每组几何线都相交于一点。当三个角平分线相交于一点时，这一点称为三角形的“内心”，即三角形的内切圆的圆心；当三条边的垂线相交于一点时，这一点称为三角形的“圆心”，即三角形的外接圆的圆心；三角形的三条中线也相交于一点。该点称为三角形的“重心”，因为它确实是三角形的重心。利用机械方法可以快速推导出它位于各中心线的三等分点处。这些爱心将在本文后面的某个意想不到的地方重新出现。

我们之前的文章介绍了三角形的外心。有兴趣的读者可以在这里回顾一下：

三角形的五个中心之一：平行中心和性质简介

三角形的三个高也不例外。它们也相交于一点。该点称为三角形的垂直中心。

吹心看似不起眼，但深入研究后，会浮现出许多奇妙的结论。由于两个斜边重叠的直角三角形会产生四个共圆点，画出三角形的三个高后，就会出现大量的四个共圆点，就会出土一系列漂亮的结论。让我们从一个简单直接的结论开始：

定理：若D、E、F为ABC三边高的竖腿，则1=2。

证明：由于AFC=ADC=90，A、C、D、F四点共圆，故1=180CDF=A。同理，由A、B、D、E四点共圆可知2=A。因此1=2。

如果将三条边垂直构成的三角形称为“垂直边三角形”，我们就会有以下听起来很酷的推论：

推论：三角形的垂线是其垂直三角形的内心。

证明：因为AD垂直于BC，而我们刚刚证明了1=2，因此3=4，即HD平分EDF。同理，HE和HF都是DEF的内角平分线，所以H是DEF的圆心。

另一个有趣的推论如下：

推论：将ABC沿AC折叠到AB'C，假设EF折叠到EF'，则EF'和DE共线。

证明：由上图中1=2直接推导出来。

1775年，法尼亚诺曾提出如下问题：给定锐角三角形ABC，什么样的内接三角形的周长最短。这个问题被称为“法尼亚诺问题”。法尼亚诺自己给出了答案：周长最短的内接三角形就是整形三角形。下面我们来证明这个结论。

定理：在ABC的所有内切三角形中，整形三角形DEF的周长最短。

证明：如上图所示，将三角形对折五次，得到折线段DEF1D2E2F3D4。该多段线段的总长度等于内接三角形DEF周长的两倍。注意，从前面提到的垂直三角形的性质可以看出，这条折线段恰好形成了一条直线段。另外，注意这样折叠后，BC和B2C2平行且相等，D和D4位于两条线段上的同一位置。因此，从D到D4的折线段的总长度是最短直线段DD4。这表明垂直三角形DEF的周长最短。

不过，这还不够震撼，吹心还有很多能力。圆的四个点也将给出其他相等的角度。

定理：若D、E、F为ABC三边高的竖腿，则1=2。

证明：由于BFH=BDH=90，所以B、F、H、D四点共圆，所以1=180FHD=2。

这给我们带来了以下非常巧妙的推论。

推论：将ABC的垂直中心H沿BC边折到H'，则H'在ABC的外接圆上。

证明：由于H和H’沿BC轴对称，所以H’=1。前面已经证明了，1=2。因此，H’=2。H’和2都是AC所对的角。它们相等意味着A、C、H'和B是共圆的四个点。

如果用另一种方式来描述，这个结论可能会更酷：

推论：将ABC的垂直中心H沿三边分别折为H1、H2、H3，则A、B、C、H1、H2、H3为圆内的六个点。

证明：由前面的结论可以直接得到。

另一个更对称、更漂亮的结论如下：

推论：若D、E、F为ABC三边高的垂直英尺，H为垂直中心，则AH·DH=BH·EH=CH·FH。

证明：作ABC的外接圆，然后延伸HD、HE、HF。它们与外接圆的交点分别记为H1、H2和H3。前面的结论告诉我们HH1=2HD，HH2=2HE，HH3=2HF。相交弦定理（或者圆幂定理，可以通过相似性快速证明）告诉我们AH·HH1=BH·HH2=CH·HH3。同时将每个等量除以2，得AH·DH=BH·EH=CH·FH。

我们来看另一个与外接圆相关的定理。

定理：若D、E、F为ABC三边高的垂直英尺，则H为垂直中心。过C作BC垂线，与ABC的外接圆交于G点，则CG=AH。

证明：我们将证明四边形AHCG的两条对边平行，从而证明它是平行四边形。注意CG和AD都垂直于BC，所以CG和AD是平行的。由于BCG是直角，这意味着BG是圆的直径，这意味着BAG也是直角，即GA垂直于AB。并且CF也垂直于AB，所以AG平行于CF。因此四边形AHCG是平行四边形，CG=AH。

它还可以引出一个更漂亮的推论：

推论：若H为ABC的垂直中心，O为ABC的外心，则O到BC的垂直线段OM平行于AH，且为AH长度的一半。

证明：前面我们证明了上图中的CG和AH平行且相等。注意BG为外接圆的直径，BG的中点为圆心，即ABC的外心O。垂直线段OM是BCG的中线，它平行且等于CG的一半，因此也平行且等于AH的一半。

好吧，下面你将看到的是初等几何的宝藏：

推论：三角形的垂心、重心、外心共线，重心位于垂心与外心连线的三等分点。

证明：设X为AM与HO的交点。刚才我们证明了AH与OM平行，它们的长度之比为2:1，因此，AHX和MOX相似，相似比为2:1。可见HX:XO=2:1，即X位于线段HO的三等分点处。另外，AX:XM=2:1，表示X位于三角形中线AM的2:1处。这说明X就是三角形的重心！

给定一个任意三角形，它的三点：重心、重心和外心共线，重心将重心和外心的连线分为1:2两段。这个奇妙的结论是伟大的数学家欧拉在1765年发现的，它是众多“欧拉定理”之一。

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