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e的十大表达式是什么(e的十大表达式怎么写)

发布时间:2024-12-13 22:35:43 课外活动 139次 作者:合肥育英学校

原版林根数学林根数学2022-03-1511:24

e作为一个数学常数,是自然对数函数的底数。它有时被称为欧拉常数,以瑞士数学家欧拉的名字命名;事实上,常数e第一次被发现是由JohnNapier在1618年2001年出版的一本关于对数的书的附录中的一个表格。是的,这个Napier就是发明对数的人,但他并没有记录这个常数,只有一个基于它计算的对数表。有趣的是,在历史上,对数是先出现的,对数和指数之间的关系是后来发现的,这与现在教科书上的顺序正好相反。事实上,直到1770年,欧拉才第一个指出“对数是由指数推导出来的”。此时,对数和指数的发明已经有一百多年了。

e的十大表达式是什么(e的十大表达式怎么写)

第一个将e视为常数的人是雅各布·伯努利(JacobBernoulli),但没有证据。已知第一个使用e的人是戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz)。莱布尼茨(Leibniz)在1690年和1691年的通信中提到过,但使用e来表示常数是由欧拉(Euler)在1727年开始的。

那么,欧拉是如何发现这个自然常数e的呢?当时,欧拉试图解决半个世纪前另一位数学家雅各布·伯努利提出的一个问题:假设你把1元钱存入银行,银行提供的年利率是100%,也就是说,经过1年,连利息2元。那么现在假设每六个月计算一次利息,半年利率为50%或0.5。本方案每年计息一次,本金和利息合计为1+10.5=1.5元。那么下半年本金和利息按照(1+0.5)2=2.25元计算,即一年2.25元。那么如果当前的利率计算周期更短的话会发生什么呢?假设每月结算一次,月利率为1/12,本息计算为(1+1/12)12,最终结果约为2.61304元。看来利息期限越短,回报就越好。然而,雅各布·伯努利发现,当n趋于无穷大时,这种连续复利存在一个极限值。

这个极限是由欧拉50年后计算到小数点后18位:

e=2.71828182845904523。当时欧拉的计算已经是当代极限,但现代计算机可以毫无困难地得到e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772。40766303535475945713821785251664274……。

这可以在任何微积分教程中得到证明。使用的单调有界序列必须有极限。

它还有另一种极端形式:

事实上,在数的发展史上,几何发现往往是第一推动力,比如、2等的发现。

虽然e的发现并不是从几何开始的,但它也可以有以下几何解释:

设n个相同的矩形ABCD组成的矩形为ABEF,设AB=x,BE=y,则x2=n,y2=n(n+1),(y/n)2=1+1/n,

说到变化,很难证明e的非理性和超越性。直到1873年,法国数学家查尔斯·埃尔米特才证明了e的超越性。但到目前为止,ee的超越性还不清楚。这些都是数论的范畴,相对较难。

其实e在数论中有着神奇的存在,尤其是在素数分布中:

所有大于2n形式的偶数都具有以e为中心的共轭奇数组。每组之和为2n,且至少有一组是共轭素数。可以说是素数的中轴,但也只是奇数的中轴。

自然常数也与素数的分布有关。存在某个自然数a,那么大约有一个比它小的素数。当a较小时,结果不太正确。但随着a的增加,这个定理会变得越来越准确。这个定理称为素数定理,是由高斯发现的。

e在现代几何中有一种奇怪的行为。首先,我们看一下完整图:中e的行为

在图论的数学领域中,完全图是一种简单的无向图,其中每对不同的顶点恰好由一条边连接。完整的有向图又是一个有向图,其中每对不同的顶点都由一对唯一的边(每个方向各一条)连接。具有n个端点的完全图有n个端点和n(n1)/2条边,用Kn表示。它是一个(k-1)-正则图。每个完整的图都是它自己的一个派系。

图论本身始于莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)1736年关于柯尼斯堡七桥的研究。然而,完整图的绘制(其顶点位于正多边形的点处)早在13世纪就已出现。此类画有时被称为神秘玫瑰。

假设完整图中的路径总数为W,哈密顿道路总数为h,则

W/h=e.

这个定律进一步证明了e不是有意构造的,e甚至可以称为完全率。与pi有一定的相似性。看来极限完全图就是图论中的圆,哈密顿路就是直径。自然常数的含义是极限完全图中路径总数与哈密顿道路总数的比值。

我们来看看e在凸体:中的表现

自Bartos于1968年提出顶角概念以来,姜星耀于1987年证明了任意n维单纯形n的任意n+1个顶角均成立不等式

由此可见

至于e的级数表达式,常见的是:

这个证明可以在任何高等数学书中找到,它是泰勒公式的一个特例。

至于e与复数的联系,下面这个公式非常有名,受到陶哲轩、张益堂的推崇。

这个方程的神奇之处在于,它连接了高等数学中常用的三个著名数字e、i和。虚数与实数交替,实虚运算最终回归现实,符合哲学和推测。

类似的例子还有一些可以举,也是相当有趣的表达方式。

1719年,意大利数学家法尼亚诺获得

1997年,中国建筑师李明波荣获

该公式下面的一些等效形式看起来更好。

不太常见的是Ramanujan(中文:SrinivasaRamanujan=泰米尔语:=英语:SrinivasaRamanujan),

这是连分数的表达式。1913年,拉马努金给英国著名数学家哈代寄了一封长达9页的信,其中包括拉马努金自己发现的120个公式。上式就是其中之一。这些公式没有证明过程。据说,大部分都是拉马努金通过心算得出的。然而,拉马努金的短暂一生却令人惋惜。关于拉马努金的故事可以参考电影《知无涯者》。

视频详细介绍了他给出了整数n的分割函数P(n)的估计公式,并证明了P(n)的渐近公式。这个公式从发现、证明到被数学家认可,经历了漫长的痛苦时期。他的工作对后来的数学家产生了很大的影响。

拉马努金过去靠直觉推导公式,不喜欢证明,但事后证明他是对的。他留下的未经证实的公式引发了后来的大量研究。

电影里还有一个很有趣的部分,就是1729年的故事,他和哈代乘坐过一次1729年的出租车。他告诉哈代,这是一个有趣的数字,因为1729可以表示为两个立方之和,并且有两种表达方式。其中,1729是最小的。(即1729=13+123=93+103。后来这种数字被称为出租车号码。)在电影的最后(拉马努金去世后),当哈代和他的朋友们乘坐出租车时,他把刚上车的朋友从出租车里抱了出来。我下了出租车,坐了下一辆,车牌是1729。

最后,e在概率论中也有神奇的应用,比如维基百科中提到的“Derangements”问题:

将n顶帽子随机放入n个位置。假设每顶帽子都有预设的正确位置,那么所有帽子都处于错误位置的概率是多少?我认为这个和有n个整数,假设1,2,3,n。从小到大是自然正确的顺序。那么如果将这n个数字随机排列的话,每个数字都会走到“其他人”的位置的概率是多少呢?

可以有如下解法:首先,有n!n个数的多种排列,且全部正确,概率为1/n!

消除所有错误后的排列数为:

那么有

显然有

这表明当n取不同的奇数和偶数时,该概率围绕1/e来回波动。

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4.《中考数学微观》教学计划和学习计划

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