微分方程对称性的用法(对称式微分方程)

6.5对称矩阵，实特征值，正交特征向量

对称矩阵、实特征值、正交特征向量

MIT公开课《微分方程和线性代数》6.5对称矩阵、实特征值和正交特征向量v.youku.com/v_show/id_XMTY5MDY3MzQyMA==.html线性微分方程中会遇到对称矩阵rame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ST=S'role='presentation'ST=S\boldsymbol{S}^T=\boldsymbol{S}，对称矩阵的特征值和特征向量有特殊的性质，即特征值是实数，特征向量彼此正交。

相比之下，反对称矩阵rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AT=#x2212;A'role='表示的特征值'AT=A\boldsymbol{A}^T=-\boldsymbol{A}是纯虚数，特征向量也是彼此正交，但它们包含复数元素，即使反对称矩阵的元素都是实数，它的特征向量也是复数。

对于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='QTQ=I'role='presentation'QTQ=I\boldsymbol{Q的正交矩阵Q}^T\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{I}，其所有特征值的模长度rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='|#x03BB;|=1'角色='演示'||=1\[\left|\lambda\right|=1\]，特征向量也是复数，并且相互正交。

示例：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='S=[3113]'角色='演示'S=[3113]\[\boldsymbol{S}=\left[\begin{matrix}31\\13\\\end{matrix}\right]\]，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A=[0-110]'角色='演示'A=[0-110]\[\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}0\text{-}1\\10\\\end{matrix}\right]\]，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='B=[3#x2212;113]'角色='演示'B=[3113]\[\boldsymbol{B}=\left[\begin{matrix}3-1\\13\\\end{matrix}\right]\]，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Q=12[1#x2212;111]'角色='演示'Q=12[1111]\[\boldsymbol{Q}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix}1-1\\11\\\end{matrix}\right]\]。

对称矩阵S的特征值为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x03BB;1=2,#x03BB;2=4'角色='演示'1=2,2=4\lambda_1=2,\lambda_2=4。特征向量为ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1=[1#x2212;1]'角色='演示'x1=[11]{\bold{x}_{1}}=\left[\begin{matrix}1\\-1\\\end{matrix}\right],rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2=[11]'角色='演示'x2=[11]{\bold{x}_{2}}=\left[\begin{matrix}1\\1\\\end{矩阵}\right]。

反对称矩阵A的特征值为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;1=i,#x03BB;2=#x2212;i'角色='演示'1=i,2=i\lambda_1=i,\lambda_2=-i。特征向量为ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1=[1#x2212;i]'角色='演示'x1=[1i]{\bold{x}_{1}}=\left[\begin{matrix}1\\-i\\\end{matrix}\right],rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2=[1i]'角色='演示'x2=[1i]{\bold{x}_{2}}=\left[\begin{matrix}1\\i\\\end{矩阵}\right]。

矩阵B=A+3I的特征值分别为'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;1=3+i,#x03BB;2=3#x2212;i'角色='演示'1=3+i,2=3i\lambda_1=3+i,\lambda_2=3-i。特征向量为ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1=[1#x2212;i]'角色='演示'x1=[1i]{\bold{x}_{1}}=\left[\begin{matrix}1\\-i\\\end{matrix}\right],rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2=[1i]'角色='演示'x2=[1i]{\bold{x}_{2}}=\left[\begin{matrix}1\\i\\\end{矩阵}\right]。

正交矩阵Q也是矩阵A的变体，除了归一化因子rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='12'role='presentation'12\[\frac{1}{\sqrt{2}}\]，它的矩阵等于A+I，所以它的特征值是rame'tabindex='0'样式='字体-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;1=1+i2,#x03BB;2=1#x2212;i2'角色='演示'1=1+i2,2=1i2\lambda_1=\frac{1+i}{\sqrt{2}},\lambda_2=\frac{1-i}{\sqrt{2}}，其特征值均位于单位圆之上，且为共轭复数，其特征向量为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1=[1#x2212;i]'角色='演示'x1=[1i]{\bold{x}_{1}}=\left[\begin{matrix}1\\-i\\\end{matrix}\right],rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2=[1i]'角色='演示'x2=[1i]{\bold{x}_{2}}=\left[\begin{matrix}1\\i\\\end{矩阵}\right]。

如果有复数、复向量、复矩阵则'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a+ib'role='presentation'a+ib\[a+ib\]，则其模为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='|#x03BB;|=#x03BB;#x03BB;#x00AF;=a2+b2'角色='演示'||==a2+b2\[\left|\lambda\right|=\sqrt{\lambda\bar{\lambda}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\]，其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;#x00AF;=a#x2212;ib'role='presentation'ˉ=aib\[\bar{\lambda}=a-ib\]是的共轭复数。

对于复数向量x#x00AF;Tx'role='presentation'‖x‖2=xˉTx\[{{\left\|\bold{x}\right\|}^{2}}={\bold{\bar{x}}}^{T}\bold{x}\]。例如rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=[1i]'角色='演示'x=[1i]\[\bold{x}=\left[\begin{matrix}1\\i\\\end{matrix}\right]\]，其长度为'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2016;x#x2016;2=[1#x2212;i][1i]=2'角色='演示'‖x‖2=[1i][1i]=2\[{{\左\|\bold{x}\right\|}^{2}}=\left[\begin{matrix}1-i\\\end{矩阵}\right]\left[\begin{matrix}1\\i\\\end{矩阵}\right]=2\]。复向量的正交性由rame'tabindex='0'style='font-size:100%确定；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x00AF;Ty=0'role='presentation'xˉTy=0\bold{\bar{x}}^T\bold{y}=0来确定。

对于实矩阵，我们寻找对称矩阵rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ST=S'角色='演示'ST=S\boldsymbol{S}^T=\boldsymbol{S}.对于复杂矩阵，查找埃尔米特矩阵ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='S#x00AF;T=S'role='presentation'SˉT=S\boldsymbol{\bar{S}}^{T}=\boldsymbol{S}，不仅取转置，还取共轭矩阵中元素的个数，例如矩阵rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='[1i#x2212;i2]'角色='演示'[1ii2]\[\left[\begin{matrix}1i\\-i2\\\end{matrix}\right]\]是埃尔米特矩阵。矩阵的转置和共轭也写为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='SH=S#x00AF;T'角色='演示'SH=T\boldsymbol{S}^{H}=\boldsymbol{\bar{S}}^{T}。

6.5b二阶常微分方程组

二阶系统

优酷视频v.youku.com/v_show/id_XMTY5MDY3NTkwMA==.html本讲座介绍二阶常微分方程组rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y#x2033;+Sy=0'角色='演示'y+Sy=0\[\bold{y}+\boldsymbol{S}\bold{y}=0\].其中S是满足rame'tabindex='0'style='font-size:100%的对称矩阵；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ST=S'角色='演示'ST=S\boldsymbol{S}^T=\boldsymbol{S}.方程中没有阻尼项，等号右边也没有外力项，所以要求解的函数就是与初值匹配的零解。

例如振荡方程rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='My#x2033;+Ky=0'角色='演示'My+Ky=0\[\boldsymbol{M}\bold{y}+\boldsymbol{K}\bold{y}=0\]，其中M是质量矩阵，K是刚度矩阵。在实际应用中，第一步是建立方程，即确定这些参数矩阵。

您正在寻找的解决方案函数的形式为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=ei#x03C9;tx'角色='演示'y=eitx\[\bold{y}={{e}^{i\omegat}}\bold{x}\],把代入原方程可得rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='M(i#x03C9;)2ei#x03C9;ty+Kei#x03C9;tx=0'角色='演示'M(i)2eity+Keitx=0\[\boldsymbol{M}{{(i\omega)}^{2}}{{e}^{i\omegat}}\bold{y}+\boldsymbol{K}{{e}^{i\omegat}}\bold{x}=0\]，排序后可以得到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Kx=M#x03C9;2x'角色='演示'Kx=M2x\[\boldsymbol{K}\bold{x}=\boldsymbol{M}{{\omega}^{2}}\bold{x}\]，这就变成了特征值和特征向量的问题。这是一个涉及两个矩阵的问题。可以用MATLAB中的eig(K,M)命令求解。事实上，在大多数实际情况下，质量矩阵M是常数乘以单位矩阵cI。

对于二阶常微分方程组rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y#x2033;+Sy=0'role='presentation'y+Sy=0\[\bold{y}+\boldsymbol{S}\bold{y}=0\]，通常是给定的初始值包括y(0)和y(0)，这两个向量包含2n个初始值，因此需要2n个解函数来匹配它们。

例子：

二阶微分方程组\rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='My#x2033;+Ky=0'角色='演示'My+Ky=0\[\boldsymbol{M}\bold{y}+\boldsymbol{K}\bold{y}=0\]描述了三个重物的运动，因此方程数为n=3。弹簧配重组中的三个配重通过弹簧相互连接并与上、下固定表面连接。假设三个重物质量相同，则M=mI。方程组的解就是重物的运动轨迹，即位移随时间的变化。等式右边为零，表示运动过程中没有外力项向弹簧配重组注入新的能量。物体的运动方式是纯简谐振动，但这些振动是相互耦合的。

刚度矩阵ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='K=k[2#x2212;10#x2212;12#x2212;10#x2212;12]'角色='演示'K=k[210121012]\[\boldsymbol{K}=k\left[\begin{matrix}2-10\\-12-1\\0-12\\\end{matrix}\right]\]，让rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='S=Km'角色='演示'S=Km\[\boldsymbol{S}=\frac{\boldsymbol{K}}{m}\]然后rame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Kx=M#x03C9;2x'角色='演示'Kx=M2x\[\boldsymbol{K}\bold{x}=\boldsymbol{M}{{\omega}^{2}}\粗体{x}\]变为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Sx=#x03C9;2x=#x03BB;x'角色='演示'Sx=2x=x\[\boldsymbol{S}\bold{x}={{\omega}^{2}}\bold{x}=\lambda\bold{x}\]。

刚度矩阵中的参数来自弹簧高于和低于重量的伸长率。例如，重物1由上下两个弹簧作用。上弹簧的力量为ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ky1'role='presentation'ky1ky_1，下方弹簧力为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2212;k(y2#x2212;y1)'role='presentation'k(y2y1)-k(y_2-y_1)，然后Helirame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='k(2y2#x2212;y1)'角色='演示'k(2y2y1)k(2y_2-y_1)。其他两组也同样推导。解函数为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=A1(cos#x2061;#x03C9;1t)x1+B1(sin#x2061;#x03C9;1t)x1+#x22EF;'角色='演示'y=A1(cos1t)x1+B1(sin1t)x1+\bold{y}={{A}_{1}}(\cos{{\omega}_{1}}t){\bold{x}_{1}}+{{B}_{1}}(\sin{{\omega}_{1}}t){\bold{x}_{1}}+\cdots是六个解的线性组合。

代入t=0，我们可以看到解函数中余弦函数的三个参数A与初始值y(0)匹配，而正弦函数的三个参数B与y(0)匹配。

例子：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y#x2033;+km[2#x2212;1#x2212;12]y=0'角色='演示'y+km[2112]y=0\[\bold{y}+\frac{k}{m}\left[\begin{matrix}2-1\\-12\\\end{matrix}\right]\bold{y}=0\]。

该方程描述了由两个质量为m的配重组成的弹簧配重组。矩阵RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='S=km[2#x2212;1#x2212;12]'角色='演示'S=km[2112]\[\boldsymbol{S}=\frac{k}{m}\left[\begin{matrix}2-1\\-12\\\end{matrix}\right]\]特征值为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;1=1#x00D7;km#xFF0C;#x03BB;2=3#x00D7;km'角色='演示'，1=1km，2=3km\lambda_1=1\times\frac{k}{m}，\lambda_2=3\times\frac{k}{m}。

如果给定的初值状态是在时间t=0时，并且将两个权重m1和m2设置在特定位置，则初值中给出初始位移，但初速度为0，即y(0)=0，所以可以看出求解函数中的两个参数B都为0。则求解函数为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y(t)=A1(cos#x2061;kmt)[11]+A2(cos#x2061;3kmt)[1#x2212;1]'角色='演示'y(t)=A1(coskmt)[11]+A2(cos3kmt)[11]\[\bold{y}(t)={{A}_{1}}(\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t)\left[\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right]+{{A}_{2}}(\cos\sqrt{\frac{3k}{m}}t)\left[\begin{matrix}1\\-1\\\end{matrix}\right]\]，其中参数由初始位移y(0)控制。从解函数中的两个特征向量可以看出，有两种基本的运动模式。一种是两个物体同相振动（m1和m2同相振动），对应于解函数中的第一项。第二个是往复运动，对应解函数中的第二项，第二项的运动频率较高。重物的运动模式是低频同向运动和高频往复运动的结合。如果是由三个配重组成的弹簧配重组，则是三种运动方式的叠加。