用牛顿切线法解方程fx=0(用牛顿切线法求方程f(x)=0)

这次老黄将分享如何使用牛顿正切法求解包含反三角函数的奇函数方程。牛顿切线法在《老黄学高等数学》系列视频第211讲中有详细介绍。具体步骤分为三步：（1）确定根的大致位置；(2)用点序列{xn}来近似方程的根；(3)检验近似根的绝对误差。在实际操作中，会有调整。

求方程x-2arctanx=0的根的近似值，精确到0.001.

分析：在解题过程中为了方便描述，我们先记住函数f(x)=x-2arctanx。并发现这是一个连续的奇函数。连续奇函数必须经过原点，即f(0)=0。可知x=0是原方程的根。另外，奇函数的性质决定了方程要么没有其他根。如果是，则必须有偶数个根（0除外）。并且它们以相反数字的形式成对出现。我们只需要找到正或负区间的所有根，然后就可以得到另一半区间的所有根，从而得到整个方程的所有实根。

为了确定根的大概位置，为求点序列{xn}做准备，一般先求f(x)的一阶导数和二阶导数。

由f(x)=(x^2-1)/(1+x^2)可以看出，函数有两个稳定点x=1和x=-1。

由f'(x)=4x/(1+x^2)^2可知f'(1)0，f'(-1)0。即x=-1为函数的最大值点，x=1为函数的最小值点。这里最大值f(-1)0和最小值f(1)0表示开区间(-1,1)上有一个方程的根，但是我们已经确定了这个根，它是x=0。

并且当x趋于负无穷大时，f(x)小于0。当x趋于正无穷大时，f(x)大于0。这里省略求极限的具体过程。

由此可知，方程有三个根，记作102。还确定了它们的大小关系，指定1为负根，2为正根。他们是彼此对立的。只要问一个，另一个就确定了。接下来选择求正根。

因为f(2)=2-2arctan2-0.2140，f(3)=3-2arctan30.5020，所以2在开区间(2,3)内。这里你仍然需要使用计算器来找到正确函数的反函数。不要说“你为什么不直接用计算器来求方程的根”，除非你真的能做到。

总结一下：牛顿切线法第一步，确定根的大致位置的一般步骤是：求函数的一阶导数和二阶导数；使用一阶导数确定稳定点；利用二阶导数确定极值点；根据极值，以及函数趋于无穷大的符号性质，确定根的个数；测试函数在根附近的点的符号属性；确定根的大致位置。

那么开始第二步，首先明确根所在区间的单调性和凸性。显然，这个函数在(2,3)上。一阶导数大于0并且单调递增。二阶导数也大于0并且向下凸。属于牛顿切线法求点序列的第二种情况，如下图：（注意这个图像不是f(x)图像的一部分）

在这种情况下，从右侧开始寻找点。即从点(3,0.502)出发，画曲线切线与x轴相交于点x1，发现x1约等于2.373。第一点通常不满足精度要求。

只要继续从x点作切线与x轴相交于x2点，就会发现x2约等于2.331。一般情况下，该点可以满足精度要求。此时，您有两个选择。

按照老黄提供的方法，重复上述步骤，继续寻找点x3，发现x3约等于2.331。显然，2.331是精确到0.001的方程的近似根。

根据牛顿正切法的一般步骤，第三步是检查x2或x3的误差是否满足精度要求。就是求[2,3]上的导数f(x)的最小值，结果约为0.6。然后将x2的函数值的绝对值除以这个最小值，得到的结果约等于0.，远小于0.001。表明x2的误差满足精度要求。因此2.331是方程最接近0.001的近似根。

有两种方法，你喜欢哪一种就用哪一种。老黄自然更喜欢用自己的方法。但你应该更相信牛顿切线法的权威。

写到这里，老黄突然发现自己的方法不准确。老黄决定以后放弃这种方法。老黄之所以没有放弃这篇文章。我想告诉大家，做数学研究的时候，感到尴尬是很正常的。哪里有错误，哪里就有真理。至于为什么老黄的方法不严谨，是因为x1和x2的差异可能很小，但x2和x3的差异可能会变大。

最后，由奇函数的性质可知，方程的另一个近似值为-2.331。

函数f(x)的图像如下所示。

最后以图片的形式展示整个问题的解决过程如下：

多找几个问题练习一下，你一定会喜欢这种求方程近似根的方法。