教我怎样计算(计算的小技巧)
不知不觉，我们又迎来了一年一度的“日”（兼白色情人节）。2011年，国际数学协会正式宣布每年3月14日为国际数学日。小学数学课本告诉我们，的小数部分是无限不循环小数，不能完全简单地表示为分数。那么值此日之际，让我们回顾一下小学的数学知识，揭开的神秘面纱。
某不存在的网站上庆祝日的Doodle，2018年3月14日。值得一提的是图片上展示的是名厨DominiqueAnsel为日特别设计的苹果派。向下滑动浏览详细菜谱
资料来源：piday.org
1的前世今生
就是人们常说的圆周率，是一个数学常数，定义为圆的周长和其直径的比值。早在远古时期，人类就发现圆的周长与其直径之间有着不可告人的秘密。有出土文物显示，早在古巴比伦时期，当时的几何学家已经将圆周率的值推算到25/8。
最早有记录的严格算法可以追溯到公元前250年。古希腊数学家阿基米德通过正多边形算法求得的下界和上界分别为223/71和22/7，即3.1408453.142857。
《沉思的阿基米德》
艺术家
年
类型
收集地点
多梅尼科·费蒂
约1620
布面油画
老大师画廊，德累斯顿
阿基米德求圆周率的思想是首先构造圆的内切多边形和对应的外接多边形。当边数足够多时，两个多边形的周长接近圆的周长的下界和上界。
思考题：如何证明22/7？
提示：
点击空白处即可查看答案
此后，数学家们陆续通过断圆、无穷级数等方法计算出的值。1706年，英国天文学家约翰·梅钦（JohnMachen）利用格里高利-莱布尼兹级数生成的公式，能够将计算到小数点后100位。也是在这一年，威廉·琼斯第一个在《新数学导论》中使用作为圆周率的唯一符号，但真正让全世界数学家接受这个设定的却是莱昂哈德·欧拉。1736年，欧拉开始在他的书《力学》中使用符号“”，数学家们纷纷效仿。
《莱昂哈德·欧拉（1707-1783）》
艺术家
年
类型
收集地点
雅各布·伊曼纽尔·汉德曼
约1756年
油漆
德意志博物馆，慕尼黑
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler），现代数学先驱，有史以来最伟大的数学家之一。法国数学家拉普拉斯曾评价欧拉的贡献：“读欧拉，他是每个人的老师。”
特别是，的值为3.1415926535897.而不仅仅是无理数（也就是说是无限不循环小数），同时也是一个超越数（所谓“超越数”，是指不满足任何整系数多项式方程的实数的数）。之一
“超越数”一词来自欧拉在1748年的评论：“它们超出了代数方法的范围”。然而直到1844年，它们的存在才被法国数学家刘维尔证明。
是的，小编引入超越数就是为了发这个表情……那为什么看到的同学不转发评论点赞呢？
2割圆术：优雅地计算
说到的计算，就不得不提著名的“割圆术”。约公元265年，数学家刘徽创立了割圆术，用正3072边形计算出的数值为3.1416。之后祖冲之在公元480年利用割圆术计算正12288边形的边长，得到圆周率约等于355/113（即密率）。在之后的八百年内，这都是准确度最高的估计值。”
图片来源：wikipedia
祖冲之（429—500），字文远，南北朝刘宋时期数学家。祖冲之给出了圆周率的两个小数值：22/7（“近似比”）和355/113（“密度比”）。后者精确到小数点后第七位。这一纪录一直保持到一千多年后才被阿拉伯数学家阿尔卡西打破。
切圆的原理现在看起来很简单，用简单的小学数学就能演示出来。简而言之，就是把圆分成多边形。划分得越细，多边形的边数就越多，多边形的面积就越接近圆的面积。
图片来源：bilibili
当然，如果从刘徽、祖冲之的时代来思考，还有一个知识点亟待解决，那就是圆的面积与周长的关系。再用小学数学，我们得到N边形的面积=N边形的半周长N边形外接圆半径。
‘N边多边形的面积=N边多边形的半周长N边多边形的外接圆半径’的证明
当N极大时，其面积非常接近圆形，即圆的面积=(圆的周长/2)半径。这样也就成功地将圆的面积与周长联系了起来。利用WolframCloud，我们可以很直观地演示割圆术的运算过程。（你问为啥不直接用Mathematica？远程办公的小编表示不卸载游戏的情况下硬盘没有足够的空间安装大型软件）
知识点：割圆术的迭代算法
上一篇文章只是简单介绍了圆形切割的原理，实际操作中会遇到一些小技术问题。这里简单介绍一下圆切割的迭代算法。有兴趣的同学可以用计算机模拟（有时间的同学可以像祖冲之一样尝试手工计算）。
如上图所示，以O为圆心画一个圆O，然后构造一个正多边形。原则上，多边形可以有任意边。不失一般性，这是一个正六边形。从圆心O引出某条边的垂直平分线OB，并连接AB为圆O的内接正十二边形的一条边。OB与正六边形的边相交于点C。假设|OC|=H，|CB|=h,|OA|=R，正六边形的边长=M，正十二边形的边长=|AB|=米。所以有
为了计算简单，令|OA|=R=1，那么我们有
这样我们就得到了边长的迭代公式
之前已经论证过“N边多边形的面积=N边多边形的半周长N边多边形的外接圆半径”，从定义中我们知道pi是“圆的周长与其直径的比值”，因此正N边多边形的面积（S）、边长（m）和外接圆半径（R）之间有
同样令R=1，我们有
结合上面的迭代公式，显然我们可以得到
这里，m和的下标N表示该结果是在正N多边形的前提下得到的。显然，随着边数N的增加，得到的值也接近的真实值。
3无穷级数：更优雅地计算
虽然利用割圆法计算圆周率的思想比较简单，但是计算起来还是比较繁琐，尤其是以前的数学家还不能像小编一样使用Mathematica来计算。迄今为止使用多边形计算的最准确结果是由奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格(ChristophGreenberg)在1630年获得的。为此，格林伯格使用正10的40次方（即1后面有40个零）的多边形来计算小数点后第38位。为此，新的想法应运而生。
图片来源：wikipedia
弗朗索瓦·韦达（左）、约翰·沃利斯（中）、戈特弗里德·莱布尼茨（右）。接下来介绍的方法就来自这三位大师。
韦达的无穷乘积
图片来源：twitter@fetedayy
套娃警告：这里不允许“禁止套娃”~
Veda给出的其实不是无穷级数，而是无穷积。人们普遍认为，韦达的著作是欧洲最早的无穷项pi公式。虽然小编还没有验证Veda最初是如何完成这个证明的，但是这个证明基本上可以用我们中学的数学知识来完成。证明的思想是双角公式。
将方程两边同时除以x，得
这里我们需要使用一些大学内容并使用限制
我们有
取x=/2，我们很容易得到
沃利斯乘积
沃利斯积，又称沃利斯公式，是英国数学家约翰·沃利斯于1655年发现的，严格证明这个方程有点麻烦（也就是说读者懒得看），所以我们用欧拉（是的，又是他！）在处理巴塞尔问题时用来证明这个方程的技术。（这里值得一提的是，欧拉“解决”巴塞尔问题的方法现在看来并不完整。）
首先考虑正弦函数的麦克劳林展开：
两边同时除以x得到
考虑到方程sin(x)/x=0的根位于x=…,-2,-,,2,…，我们有
设x=/2，
公式已被证明。
格雷果里-莱布尼茨公式
上面提到的两种方法比较有名主要是因为它们提出的比较早。在实际计算过程中，人们更倾向于使用上述公式。它由莱布尼茨于1674年发现，被称为格里高利-莱布尼茨公式。不过，有朋友发现，这其实是反正切函数的MacLaughlin展开。因为太出名了，相信大家都已经很熟悉了，这里就不介绍公式的证明了。当x取1时，arctan函数正好等于/4，因此比之前的算法更简单。
不过要提醒想自己计算的同学，格里高利-莱布尼兹公式虽然看起来计算简单，但它的收敛速度是非常慢，因此现在基本不会用此公式来计算圆周率。这里推荐一个印度传奇数学家拉马努金给出的公式
图片来源：wikipedia
斯里尼瓦萨·拉马努金，20世纪印度传奇数学家。他从未接受过正规的数学高等教育，但他有着极其敏锐的直觉。拉马努金经常给出未经证明的公式，但他的理论往往在事后被证明是正确的。数学家哈代评论拉马努金的公式，有些公式他一开始看不懂，但是“它们肯定是真的，因为如果不是的话，没人能有足够的想像力来发明他们。”
彩蛋时间：一个不优雅的反面典型
在写这篇文案的过程中，小编突然想起自己在人人网上看到过一篇介绍pi的文章，小编的一个朋友（朋友的无中生有的警告）一度信以为真。
图片来源：reddit
小编没找到那篇文章，不过很高兴发现有一些歪歪扭扭的中国人在讨论~
令p=确实使得=4。但是上面的证明显然是错误的。这张图的问题在于，考虑到圆的周长本质上是导数的积分，一致收敛函数的导数未必收敛。当然这个问题也可以从测度的角度来考虑，但无论是哪个角度，都不太可能在一篇文章里解释清楚。（更何况文章写辣么长，肯定没人愿意读）所以就让我们期待明年的3月14，继续我们的日说吧（前提当然是各位读者老爷们千万不要取关啊）
看完今天的科普，肯定有同学会觉得自己还有东西要学。那么问题来了，有没有这样一本书，既能还原科学定理的创造历史，又能用简单易懂的语言介绍其背后的科学原理呢？
中央电视台《加油未来》节目科学顾问曹则贤老师倾情巨献，收录数理史上数十例绝妙证明，涉及一百八十多位名家。因材施教，激励少年读者循着先哲开辟的道路前行。