第二十四章圆的思维导图(第二十四章圆的教材分析)

1.圆的相关属性

1.与圆相关的概念

(1)定义：在平面内，线段OA绕其固定端点O旋转，与另一端点A所形成的图形称为圆。

(2)弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。

(3)直径：通过圆心的弦称为直径。

(4)圆弧：圆上任意两点之间的部分称为圆弧。

(5)半圆：圆的任意直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧称为半圆。

(6)等圆和等弧：可以重合的两个圆称为等圆。在同圆或等圆中，可以相互重叠的圆弧称为等圆弧。

2.垂直于弦的直径

(1)圆的对称性：圆是轴对称图形，任何有直径的直线都是圆的对称轴。

(2)垂直直径定理：垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧。

3.圆弧、弦、圆心角

(1)圆心角：与圆心处的顶点所成的角称为圆心角。

(2)圆心角定理：在全等圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4.圆周角

(1)定义：顶点在圆上且两边都与圆相交的角称为圆周角。

(2)圆周角定理：在全等圆或全等圆中，全等弧或全等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

（3）内接圆的多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，则该多边形称为内接圆的多边形，该圆称为该多边形的外接圆。

(4)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角线互补。

2、点与圆、直线与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系

设O的半径为r，点P到圆心的距离为d：

(1)点P在O,dr之外；

(2)点P在O上，d=r；

(3)点P在O,dr内。

2.三角形电路

(1)不在同一条直线上的三点确定一个圆。

(2)与三角形外接圆相关的概念：通过三角形的三个顶点可以画圆。这个圆称为三角形的外接圆。

(3)如何外接三角形

1确定圆心：三角形两边垂直平分线的交点为圆心；

2确定半径：交点到三角形任意顶点的距离就是外接圆的半径。

(4)反证法：证明一个命题时，并不直接从该命题的已知知识中得出结论，而是假定该命题的结论不成立。由此，通过推理就衍生出了矛盾。根据矛盾判断假设不正确，从而原命题为真。这种方法称为反证法。

3.直线与圆的位置关系

(1)交点：直线和圆有两个公共点。这时候我们就说这条直线与圆相交。这条直线称为圆的割线。

(2)相切：直线和圆之间只有一个公共点。这时我们说这条直线与圆相切。这条直线称为圆的切线，公共点称为切点。

(3)分离：直线和圆没有共同点。在这种情况下，我们说直线与圆是分开的。

(4)直线与圆的位置关系

1交点：公共点的数量，2；公共点、交点的名称；直线的名称，割线；中心O到直线的距离d与半径r、dr的关系；

2Tangency：公共点的数量，1；公共点、切点的名称；直线、切线的名称；圆心O到直线的距离d与半径r的关系，d=r；

3分离度：公共点的个数，0；公共点名称，无；直线名称，无；中心O到直线的距离d与半径r、dr的关系；

4.圆的切线

(1)切线确定定理：经过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。

(2)切线性质定理：圆的切线垂直于通过切点的半径。

5、切线长度

(1)切线长度：在经过圆外一点的圆的切线上，该点与该切点之间的线段的长度称为该点到圆的切线长度。

(2)切线长度定理：从圆外一点可以引出圆的两条切线。它们的切线长度相等。该点和连接圆心的线平分两条切线之间的角度。

6.切线的确定和性质的应用

(1)如何使用辅助线：利用切线的性质进行计算或演示的一种常见的辅助线是连接圆心和切点，并利用垂直构造直角三角形来解决相关问题。

(2)证明直线与圆相切的三种方法

证明直线和圆有唯一的公共点。

证明直线穿过半径的外端并垂直于该半径。

证明圆心到直线的距离等于圆的半径。

7.三角形的内切圆

(1)概念：与三角形各边相切的圆称为三角形的内切圆。

(2)方法：

1确定圆心：三角形两角平分线的交点为圆心；

2确定半径：交点到三角形任意边的距离就是内切圆的半径。

8.圆之间的位置关系（R和r分别为大圆和小圆的半径，d为圆心之间的距离）

(1)分离

1外分离：当两个圆没有公共点，且一个圆上的点在另一个圆之外时，称为两个圆的外分离；dR+r；共同点的数量，没有。

2包含：当两个圆没有公共点且一个圆上的点在另一个圆内时，称这两个圆包含。当两个圆的中心重合时，我们说这两个圆同心。圆圈；dR+r（含），d=0（同心圆）；公共点，没有。

(2)切向

1割包皮：当两个圆有唯一的公共点，且除此公共点外，一个圆上的点都在另一个圆之外时，称为两个圆的割包皮；d=R+r；公共点的个数，1。

2内接：当两个圆有唯一的公共点，且除该公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，称为两个圆的内接；d=R-r;公共点数量，1个。

(3)交点：当两个圆有两个公共点时，称为两圆相交；R-rdR+r；公共点的数量为2。

3.正多边形和圆形

1.相关概念：正多边形的外接圆的圆心称为正多边形的中心，外接圆的半径称为正多边形的半径，正多边形各边所对的圆心角称为正多边形的中心角，中心角到正多边形的一条边之间的距离称为正多边形的中心距。

2、如何绘制正多边形：绘制正n边形的思路就是将圆分成n等份，然后将相等的点依次连接起来，得到想要的正多边形。

3.正多边形的计算

假设正多边形的边数为n，半径为R，边距为r，边长为a，则：

(1)内角：

(2)圆心角：

(3)半圆心角：

(4)半径：

(5)周长：

(6)面积：

4.弧长和扇形面积

1、弧长公式：圆心角所对的弧长。

2、扇形的面积公式：圆心角为的扇形的面积为。

3、母线定义：圆锥是由底面和侧面围成的几何体。连接圆锥的顶点和底圆周上任意点的线段称为圆锥的母线。

4.锥面相关计算

假设圆锥母线长度为l，基圆半径为r，则：

圆锥边面积：

圆锥体的总面积：