等差数列二阶公式(二阶等差数列讲解视频)

初中常见的规律有符号规律、等差数列规律、二阶等差数列规律、几何数列规律、循环规律等。本文对等差数列规律和二阶等差数列规律进行研究。

1.算术序列

【定义】等差数列是从第二项开始，每一项与前一项之差等于同一个常数的数列。如：1、4、7、10、13、后面的数字总是比前面的数字大3。这样的数列是算术数列，其中3称为容差。

【属性】小生初应该了解以下两个属性：

总和=（第一项+末项）项数2；

项目数=（最后一项-第一项）容差+1；

【如何寻找规则】

由于等差数列的通式为An=a1+(n-1)d，其中an代表第n个数，a1代表第一个数，d代表容差。因此，从通式可以看出an是n的线性函数（d0）或常数函数（d=0），即算术数列具有kn+b的形式，其中K=容差，b=主导项-容差。

【例1】用菱形纸片拼出如图所示的图案。第一个图案有5张菱形纸片；第二个图案有9张菱形纸片；第三个图案有13张菱形纸。根据这个规则，第n个图案中菱形纸片的数量是_________

【分析】

步骤1：确定序列的类型。由于后一项总是比前一项大4，因此该序列是算术序列。

步骤2：计算k。因为每次增加是4，即公差是4，所以k=4

步骤3：计算b。因为第一项-容差=5-4=1，所以b=1

第四步：写出规则。第n个数是4n+1

【例2】观察下面两列数字：

7、10、13、16、19、22……

7、11、15、19、23、27……

(1)这两列数字中的第100个数字是多少？

(2)这两列数字中，第一个相同的数字是7，第二个相同的数字是19，第10个相同的数字是多少？

【分析（一）】

第一列中的数字是：k=tolerance=3，b=firstterm-tolerance=7-3=4，所以第n个数字是3n+4。当n=100时，第100个数是304

:k列中的数字2=容差=4，b=第一项-容差=7-4=3，因此第n个数字是4n+3。当n=100时，第100个数是403

【分析(2)】第一个相同的数是7，第二个相同的数是19，第三个相同的数是31。由于7、19、31组成等差数列，即第m个相同的数是12m-5。当m=10时，第10个相同的数是115。

二、二阶算术序列

【定义】二阶等差数列是指后一项与前一项的差是一个等差数列。例如：1,3,7,13,21,31,最后一项与前一项的差是：2,4,6,8,10,这些差是一个算术序列，我们称之为序列1,3,7,13,21,31,是二阶算术序列。

【求规律的方法】二阶算术数列的通项的一般形式为：An=an2+bn+c，与求二次函数解析表达式的方法类似。我们可以用待定系数法求其通项公式。

【例1】（难度系数）给定一组数字：1,3,7,13,21,31,根据规则找到第100个数字。

【分析】

第一步：设置。假设第n个数An=an2+bn+c

第二步：生成。将n=1、An=1、n=2、An=3、n=3、An=7分别代入An=an2+bn+c，可得：

第三步：询问。：3a+b=2

：5a+b=4

-：2a=2，解为a=1，b=-1，c=1

第四步：写。即第n个数为：n2-n+1，第100个数为9901

【例2】（难度系数）观察下列方程，请写出第n个方程。

第一个方程：32-1=81，

第二个方程：52-1=24=83，

第三个方程：72-1=48=86，

第四个方程：92-1=80=810，

……

【分析】

第一步：找到变量和不变量。观察等式左边的底在变化，等式右边乘以8的数也在变化。

步骤2：左边的底数是：3,5,7,9,这显然是一个等差数列。它的容差为2，第一项减去容差等于1，所以第n个底为2n+1。

第三步：右边的数字乘以8分别是1,3,6,10,……，后一项与前一项的差是2,4,6,……，可以判断原数是二阶的，以此类推。差序。按照例1中的待定系数法，可得到第n个数：

总结：

等差数列的规律具有线性函数的一般形式，二阶等差数列具有二次函数的一般形式。任何这样的序列的通式都可以使用待定系数法来计算。有了近乎“死算”的方法，相信同学们在面对的时候再也不用为拆数（猜数字）而烦恼了。

等差数列有确定的方法

待定系数可解

一阶线性函数块

关于二阶二次函数