定积分在物理方面的应用(定积分的物理应用需要用到的公式)

这部分的研究主要包括三个方面的研究，包括变力沿直线所做的功、水压、重力的计算以及单元法的应用。一。可变力沿直线所做的功(W=F*S)。1.示例：在r轴坐标原点o处放置一个电荷为+q的点电荷。它产生的电场。如果有一个单位正电荷放置在距原点o距离r处，则电场力为其力为F=k*q/r2。这是物理学中的一个解决方案。对于这个问题，我们可以应用数学中的定积分来解决。假设r是一个整型变量，那么它的变化区间是[a,b]，设[r,r+dr]为[a,b]中的任意区间，运动过程中，dw=kq/r2dr，那么我们所需功为W=不定积分a，bkq/r2dr=kq[-r/1]到b=kq(1/a-1/b)。对于这种变力沿直线所做的功，可以用定积分的思想来求解。2、反常积分的用途：用于计算点电荷从某一点移动到无穷远时电场力所做的功W。表达式为a+无穷大kq/r2*dr=[-kq/r]a+无穷大=kq/a；3、底部面积为s的圆柱形容器内存有一定量的气体。在等温条件下，由于气体的膨胀，活塞被从b点推向b点。求气体压力在运动过程中所做的功。解：（元法）等温条件pv=k;v=xs;所以p=k/xs。所以作用在活塞上的力F=p*s=k/xs*s=k/s；以x为积分变量，变化区间为[a,b]，设[x,x=dx]为[a,b]上任意小区域，工作元素为dw=k/sdx；则所做的功为W=定积分k/ds*dx=k*lnb/a；4.总结：利用元素法利用特定区间的定积分思想来解决物理问题。2.水压1.物理：压力p=F/sp=pgh在某些问题下，由于不同水深的点处压力p不同，因此用上述方法无法计算板一侧的水压。集成的思路是解决问题2，水平放置一个圆柱形的水桶，水桶里装满了半桶水。设水桶底部的半径为R，水的密度为P。计算水桶一端的压力。解：1.建立坐标系2.计算水平面通过圆心时垂直半圆一侧的水压。以x为积分变量，变化区间为[0,R]。令[x,x+dx]为[0,R]上的任意小区间。窄条的面积约为2的平方根下的R2-x2。因此，在dp=2Pgx的根符号下，单元的压力为r2-x2*dx。椰壳雨衣所需的压力为P=定积分(0,R)r2-x2*dx=-pg[2/3(r2-x2)3/2次方](0,R)=3/2pGR的立方。3.将具有斜边2a的等边直角三角形板垂直浸入水中。斜边与水平面齐平。重力加速度为g，水的密度为p。那么板上的水压力为---解：1.建立坐标系2.划分一小条进行计算，最后观察作用间隔。3、计算结果：F=定积分(0,a)pg(a-y)2ygy；总结：建立坐标系，通过元素法选择组合计算，确定作用面积，计算定积分；3.引力1.物理：质量为m1和m2、距离为r的两个粒子之间的引力大小为F=G*m1m2/r2，G为引力素数，引力方向为沿连线两个质点。但要计算细棒对质点的引力，由于细棒上各点与质点的距离发生变化，质点上各点的引力方向也发生变化，因此上式不能成立用于计算它。2、假设有一根长度为l、线密度为U的均匀细棒。在垂直线上距离a单位处有一个质量为m的质点M。尝试计算杆对粒子M的引力。解决方法：1、建立坐标系。杆位于y轴，粒子m位于x轴，杆的终点为原点o。

2、取该元素作为积分变量。变化范围为-l/2l/2。取任意一小部分，质量为udy，因此重力大小为F=Gmudy/a2+y23。水平方向的重力为Fx=-定积分(-2/1,2/1)Gamudy/(a2+y2)的2/3次方，4。·=垂直方向重力为0；3.重力的计算和上面两题一样求解方法是一样的，采用定积分的思想。以下示例将帮助您更好地理解定积分在物理学中的应用。1、由实验可知，弹簧在拉伸过程中所需的力f与伸长量s成正比。F=kxk是比例常数。如果弹簧计算将物体从其原始长度拉伸六厘米所做的功。（这个问题与变力沿直线所做的功有关）。解：W=(0,6)ksds=18k(N.cm)=0.18k(J).2。一个直径20厘米、高80厘米的圆柱体充满蒸汽，压力为每平方厘米十牛顿。假设温度保持不变，需要做多少功才能使蒸汽体积减少一半？解：根据条件，pv=k是常数，k=10*(100)2**(0.1)2*0.8=800。假设锅筒内高度减少hcm时蒸汽压力为p(h)N/m2，则p(h)=k/v=800/(0.8-h)s，压力p=p(h))s=800/0.8-h，所以所做的功是W=(0,0.4)800/0.8-h*dh=800*ln2=1742J。3、证明将质量为m的物体从地球表面提升到h所做的功为w=mgRh/R+h，其中g为重力加速度，R为地球半径；（2）人造地球卫星质量为173公斤，进入轨道高度为距地面630公里。需要做多少功才能克服地球引力，将这颗卫星从地面送至630公里的高空？已知这等于9.8米每平方秒，地球半径r等于6,370公里。解：(1)：当质量为m的物体距离(R,R+h)mgR2/x2*dx=mgR2*(1/R-1/R+h)=mgRh/R+h时。(2）。从第一个问题我们知道所做的功是w=mgRh/R+h=971973=9.72*(10)5(KJ).4。1、物体按照x=CT的三次方做直线运动。介质的阻力与速度的平方成正比。计算物体从x=0移动到x=a时克服介质阻力所做的功。解：根据题意：速度为v=dx/dt=3c(t)2，阻力为R=k(v)2=9(k)2(c)2(t)4。由此可得，dw=Rdx=27k(c)3(t)6dt；假设当t=T，x=a时，我们得到T=(a/c)1/3，所以W=(0,T)27k(c)3(t)6dt=27k(c)3(T)7/7=27/7k(c)2/3(a)7/3.5。用锤子将铁钉钉入木板。假设木板与铁钉相对。阻力与钉子钉入木板的深度成正比。第一次将钉子钉入木板一厘米，如果锤子所做的功与锤子相等，则第二次将钉子钉入木板。小时。

钉子又刺入木板了多少？解：设木板对铁钉的阻力为R，铁钉刺入木板深度为h时的阻力为R=kh。锤子第一次敲击时做了什么？功：w1=(0,1)Rdh=(0,1)khdh=k/2。假设锤子第二次敲击时，铁钉进入木堆的距离为h0Cm。所做的功是w2=(1,1+h0)khdh=k/2[(1+h0)2-1]，又因为w1=w2，所以h0=平方根2-1；6.假设一个圆锥体储水箱深15米，直径20米。它充满了水。现在用泵吸走所有的水。我们需要解决的问题是：以高度h为积分变量，范围是0到15。对于这个区间，任意一个小区间[h,h+dh]，体积为(10/15h)2*dh，r为水的密度，则所做的功为w=(0,15)4/9rg(h)2(15-h)dh=1875rg=5.76975*(10)7(J).7。有门有其形状、大小。水面超出门顶两米。求闸门上的水压？解：解位于微区间[x,x+dx]薄片上的微压力（水的密度取1）为dF=1x21000gdx=2000xgdx。压力F=(2,5)dF=2000z8dr=100028=100021g(k)=219.8(kN)=205.8(kN).8。有一个等腰梯形闸门。它的两个底座分别长10米和6米。高度为20米。较长的底座与水面齐平。计算闸门一侧的水压？解：建立坐标系，则过A、B点的直线方程为y=10x-50。取变量，y的范围为[-20,0]，对应小区间[y,y+dy]的近似面积为2.xd10dy，y表示水的密度，因此水压F=(0,20)(y/5)ygdy=1.437310(N)=14373(kN).9。一块等腰三角形，底长8厘米，高6厘米，垂直沉入水中，顶部和底部在下，与水平面平行，高出水面3厘米。表面压力有多大？解：建立坐标系，以三角形的顶点为原点，积分变量为OB的方程为y=x，所以对应的小区间[x,x+dx]的面积近似值为ds=2·.2/3xdx=4/3xdx。记y为水的密度，则x处的水压为对于p=yg(x+0.03)=1000g(x+0.03)，压力为F=(0,0.06)1000g(x+0.03)·xdx=0.168g=1.65(N)。