第二十一章一元二次方程思维导图(第二十一章 一元二次方程视频讲解)

1.单变量的二次方程

1、定义：等号两边都是整数，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程称为二次方程。

2、一般形式：

3、二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是二次方程的解，也称为二次方程的根。

2.解一变量次数——的二次方程

将一变量（约简度）的二次方程转换为一变量的线性方程来求解。

1、直接平方根法：利用平方根的定义，通过直接平方根求二次方程解的方法称为直接平方根法。

2、组合法：将一个变量的二次方程化成完全平方型来求解的方法称为组合法。

步：

(1)将二次项的系数改为1。

(2)移位项：使方程左边为二次项和一次项，方程右边为常数项。

(3)公式：在方程两边加上一次项系数的平方的一半，原方程变为的形式。

(4)直接平方根：如果右边是非负数，可以用直接平方根法求方程的解。

3.公式法

(1)首先将方程转化为一般形式。此时，方程的根可以写成的形式。该公式称为一变量二次方程的求根公式。利用求解公式求解一变量的二次方程的方法称为公式法。

(2)二次方程的根数与根的判别式的关系

根的判别式：

0时为1，

2当=0时，

3当为0时，方程无实根。

(3)二次方程根判别式的应用：

1在不求解方程的情况下，可以直接通过根的判别式的正负性质来确定根的情况。

2根据方程根的条件确定方程中字母系数的取值范围。

3使用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、两个不等实根、两个相等实根）。

4、因式分解法

1定义：先对二次方程进行因式分解，使方程化简为两个线性方程的乘积等于0的形式，然后使两个线性方程分别等于0，实现次数减少。这种解二次方程的方法称为因式分解法。

2个步骤：

将等式右边改为0。

将方程左边分解为两个线性表达式的乘积。

令各线性方程为零，得到一个变量的两个线性方程。

求解这两个单变量线性方程，其解即为原方程的解。

5.二次方程的根和系数之间的关系

当0时，

3.实际问题和一变量的二次方程

1.解决二次方程应用题的步骤：复习、建立、列出、求解、验证和回答。

2.求解二次方程的应用题类型：增长率问题、利息问题、数值问题、利润问题、动点问题、工程问题等。