代数训练(代数题和答案)

上次我们给出了集合的通俗定义，以及集合的常见构造方法。我们先讲一下映射，用映射来讨论自然数的定义过程。注：这里的解释并不完全遵循公理集合论严格的形式化方法，而是采用一种相对容易理解和容易接受的方式来解释其主要思想。

上次我提到了“大写英文字母”和“小写英文字母”这两个集合之间的关系。事实上，它们之间是一一对应的。即任意一个大写英文字母都可以唯一对应对应的小写英文字母。

一般来说，对于两个给定的集合X和Y，如果存在一个规则使得集合X中的每个元素唯一对应于集合Y中的一个元素，则称X和Y之间建立了关系。记为f:rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X#x2192;Y'角色='演示'XYX\rightarrowY。如果X中的元素x对应于Y中的y，则记为f(x)=y。此时，元素y被称为x的图像，元素x是y的原始图像。

如果集合X中的任意两个不同元素对应于Y中的不同元素，则该映射称为单射；如果集合Y中的任何元素是Surjection中元素的图像；既是单射又是满射的映射称为双射或一对一对应。

思考问题：当且仅当存在从集合Y到集合X的满射时，存在从集合X到集合Y的注入。

通过这些关于集合和映射的准备工作，我们终于可以定义自然数了。

什么是自然数？下面给出的定义是著名的戴德金-皮亚诺公理。

自然数公理假设N是非空集合，0是N的特定元素，f:rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='N#x2192;N'role='presentation'NNN\rightarrowN是一个映射。如果满足以下三个条件，则称集合N为自然数集合，其中的元素称为自然数，0称为零元素。

1)0不是任何元素的镜像；

2）映射f是单射；

3)如果A是N的子集，则满足：0属于A，并且A在映射f下保持不变，则A等于整个N。

在上面定义的自然数集合N中，通常记为：1=f(0)=0+1,2=f(1)=1+1,3=f(2)=2+1,

另请记住：0=1-1、1=2-1、2=3-1，

从而我们有如下表达式：

N={0,1,2,3,}。

因此，当n为自然数时，n+1也是自然数，n+1称为n的后继，n-1称为n的前驱。

对于任意自然数n，N的子集{0,1,2,n}被称为包含n+1个自然数的“标准”有限子集。

假设X是一个集合，P是包含n+1个元素的自然数的“标准”有限子集。如果存在来自的双射映射，也称为X的底为n+1。

如果存在从集合X到自然数集合N的单射映射（相当于从N到X的满射），则集合

一般来说，如果两个集合之间存在双射对应，则称两个集合具有相同的基数，或者如果它们包含相同数量的元素。

数学归纳原理的合理性

对于自然数n的命题，当n=0时，该命题的结论成立：归纳基础。

假设该命题对于自然数n成立。如果能够证明该命题对于自然数n+1也成立，那么该命题对于任何自然数都成立。

事实上，假设A是由使命题成立的所有自然数组成的N的子集，根据自然数公理的3），可以立即推导出方程：A=N。

有了自然数集合，我们就可以定义整数集合来形成整数环。再者，有理数域是通过整数环来构造的（有理数到实数的过程涉及到极限的思想，书上没有提到）。根据多项式环的商环，可以构造复数域等。这就是数的展开过程（详见《代数选讲》中的详细讨论）。