高中数学等差数列公式大全(高中数学等差数列求和的方法)

向尖子生进军特别整理了2022年高考第二轮复习的高中数学算术数列求和公式+方法，希望能为广大考生和家长提供帮助。

等差数列是一种常见的数列，可以表示为AP。如果一个序列中的每一项与其前一项的差值等于与第二项相同的常数，则这个序列称为等差数列，而这个常数称为等差数列的容差，容差常常为用字母d表示。

(一）等差数列求和公式

1.公式法

2.错位相减法

3.求和公式

4.分组法

有一种序列既不是算术序列也不是几何序列。这类数列如果拆解得当，可以分成几个算术数列、几何数列或普通数列，然后分别求和，再合并。能。

5.裂项相消法

适合分数形式的通项公式，将一项拆成两项或多项差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消掉中间的多项。

总结：这种变形的特点是，将原始序列的每一项拆分为两项后，中间的大部分项相互抵消。只剩下有限的数量。

注：其余项目具有以下特征

1.其余项目的位置对称。

2、其余项目前后积极性相反。

6.数学归纳法

一般来说，要证明一个与正整数n相关的命题，有以下步骤：

(1)证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（kn的第一个值，k是自然数）时命题为真，并证明当n=k+1时命题也为真。

例子：

确认：

1234+2345+3456+.+n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1234=24=2345/5

假设当n=k时命题成立，则：

12x34+2345+3456+.+k(k+1)(k+2)(k+3)=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

那么当n=k+1时我们有：

1234+2345+3456+……+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

=1234+234*5+3456+……+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5+1)

=[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即当n=k+1时原方程仍然成立，并用归纳法证明。

7.并项求和法

（常采用先测试后求和的方法）

例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

方法一：（联合条款）

求奇数项和偶数项之和并减去它们。

方法二：

(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

方法三：

要构造新的数列，可以使用等差数列和等比数列的复合。

an=n(-1)^（n+1）

（二）等差数列判定及其性质

等差数列的判定

(1)a(n+1)--a(n)=d(d为常数，nN*)[或a(n)--a(n-1)=d,nN*,n2，d为常数]等价于{a(n)}转化为等差数列。

(2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2)[nN*]等价于等差数列中的{a(n)}。

(3)a(n)=kn+b[k,b为常数，nN*]等价于{a(n)}构成等差数列。

(4)S(n)=A(n)^2+B(n)[A和B为常数，A不为0，nN*]等价于{a(n)}为算术数列。

特殊性质

在有限算术数列中，与第一项和最后一项等距的两项之和相等。并且它等于前两项和后两项之和；特别是，如果项数为奇数，则也等于中间项的2倍，

即a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=2*a

示例：a(1)+a(6)=12，序列为：1,3,5,7,9,11；a(2)+a(5)=12；a(3)+a(4)=12；也就是说，在有限算术数列中，与前两项和后两项等距的两项之和相等。并且等于前两项和后两项之和。

数列：1、3、5、7、9中a(1)+a(5)=10；a(2)+a(4)=10；a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5；也就是说，如果项数为奇数，则总和等于中项的2倍，另请参见算术中项。

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