少年被杀案后续(少年歌行)

很多人在刚上大学或者还没有到大学注册的时候，就认为自己会加减乘除。作者本人也太嚣张了。谁没有年少轻狂？然而，大约十年前，当我担任物理学教授大约十年后的一天，我发现我真的不懂加法、减法、乘法和除法以及与这些运算相关的数字。本文向即将进入大学或已进入大学的年轻朋友介绍一点关于数字的基础知识及其运算规则~据说中学就该学。希望他们博士毕业的时候能够自信地说出来。“我理解这篇文章中的所有内容。”

（本文内容摘自曹则贤《云端脚下~从一元二次方程到规范场论》，科学出版社，2020）

撰文曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

关于数字，开头是自然数，1、2、3……，用于计数。自然数的存在，形而上地提醒人们虚无和空虚，所以我们的祖先好不容易才引入了0——0这个符号，它的出现晚于[1]。自然数求和是天然的，任意两个自然数之和都还是自然数，而且加法还满足交换律，m+n=n+m。这是经验总结。减是加的逆操作，一个实实在在的物理过程。自然数的减法有些尴尬，当mn时，m-n的结果不在自然数中。当m=n时，我们得引入新的对象0，m-n=0。这个还算相当自然。当mn时怎么计算m-n？计算m-n竟然还真有需求，比如你从朋友处借了3个金币转天他从你这里拿走5个金币，肉疼的感觉会让你思考3-5的意义。针对mn的情形下m-n问题，人们不得不引入负数的概念(印度人约在公元9世纪才引入负数)。这样，我们就有了…-3，-2，-1，0，1，2，3…这样的数系，称为整数，包括负整数、0和正整数。正整数就是自然数。整数对于加法及其逆运算，减法，都是封闭的。不同的是，m+n=n+m，而m-n=-(n-m)。这个概念。

乘法也是相对自然的。自然数的乘法是封闭的。任意两个自然数的乘积仍然是自然数并且是可交换的，mn=nm。整数的乘法也具有闭包性质。任意两个整数的乘积仍然是整数并且是可交换的，mn=nm。然而，整数的乘法有点尴尬。例如，0n=0是相当抽象的。另外，整数的乘法还有正负为负、负负为正的规则，(-m)n=m(-n)=-(mn)，(-m)(-n)=mn。为什么？从物理角度来看，12、02、3(-2)和(-3)(-2)中的乘法作为物理运算可能是不同的。让我们先记住这些事情，这里我们不会深入讨论它们。读者在学习物理时遇到乘法时要多加注意。

我们会不断遇到数字系统扩展的情况。为了便于更深入地理解这个问题，我们首先来看一个有趣的现实场景。当魔术师从装有3个小球的碗中抓起1、2、3个小球时，你看到并相信碗中还剩下相应的2、1、0个小球。当魔术师拿出第四个球时，你会一边坚持碗里的球数为0，一边思考第四个球的来源。这种情况下一个值得注意的问题是，在此之前，你只关注了第四个球的来源。“碗~魔术师之手”的系统，但是当他拿出第四个球时，你将系统扩展为“碗~魔术师之手”的手~未知地点”复杂系统。另外，当未知地点被确认为碗或魔术师的手，这个复杂的系统退化回“碗~魔术师的手”这个简单的系统，类似这样的扩展系统的东西在数系概念的发展过程中会多次出现。

除法是乘法的逆运算（人们后悔时会幻想逆运算），但即使是正整数的除法也有麻烦。首先，正整数除法没有闭包性质。当mn时，仅对于某些特定的m和n，商m/n为正整数。面对5/3和8/6，我们真的不知道该怎么办。让我们扩展数字系统并考虑0。0/m=0还是有意义的。每个人都明白，每个人都假装在空中吃饭，最后却饿了。至于m/0，这确实没什么意义——谁觉得有意义谁就知道。展开数系，并将任意两个整数的商包含到整数系中。任何正整数的商m/n称为有理数（比例数）。你看，数系和运算规则是一体的：自然数可以加减乘（无障碍），整数可以加减乘（无障碍），只有有理数可以加减乘并分开（无阻碍）。

几何学的发展也给我们带来了数系扩展的需要。根据平面的欧几里得几何，直角三角形有毕达哥拉斯定理，c^2=a^2+b^2。当a=b=1时，c^2=2。然而，c^2=2的c不能是比例数，并且m/n的任意平方不能是2。引入了新符号，定义为

2不能是比例数，因此是无理数。我们不习惯2这样的数字，或者说2这样的数字太奇怪了，所以形容词irrational带有奇怪、不合理等贬义。Irrationalnumber的中文翻译是无理数。相应地，有理数的中文翻译就是有理数。参考关于整数的考虑，有理数也可以具有负号。好的，我们现在有了一个有理数系统。所有有理数和无理数都是独立的实体。

对于一条几何直线，选择一个点作为原点，定义其对应的0。与同一条直线上的所有点建立一一对应的数定义为实数，记为R。实数存在连续，并且任意实数的任意小邻域内都存在无穷多个实数。我这里描述的是白话描述，严格的实数连续性理论，但我无法理解。我们暂且根据直线的形象来理解实数，直线的范围是（-，）并且是连续的。有理数（整数是有理数的子集）是实数中的离散实体，并且度量为零（意味着它们不占用空间）。有理数的补集是无理数。无理数也有结构性的存在，不能简单地用无理数的概念来否定它。无理数如何成为无理数？有很多值得研究的地方。例如，a和b都是有理数。a+b2形式的数字足以构成代数。它们的加减乘除是封闭的，即结果仍然是a+b2的形式。a+b2当然是实数，但似乎已经有了二进制数的含义。可以理解为由有理部分和无理部分组成（约2）。

这就是二维空间笛卡尔坐标系中的旋转变换——复数的乘积具有表达二维平面中旋转的功能！1830年左右，爱尔兰数学家和天文学家威廉·罗文·汉密尔顿爵士(1805-1865)认为，将复数写成实数加虚数会产生误导。复数应该是遵循特定算法的数字。具有两个分量的数字可以写为(a,b)。汉密尔顿称其为代数偶，现在也称为二进制数。汉密尔顿了解二进制数（即复数）可以表示二维平面中的旋转，因此想要发明描述三维空间中的旋转的数字。于是，他在1843年10月16日下午发明了四元数。四元数q=a+bi+cj+d，三个单位虚数满足关系ij=k，jk=i，ki=j；ij=-ji,jk=-kj,ki=-ik;i^2=j^2=k^2=ijk=-1。从四元数q=a+bi+cj+d中，我们得到术语标量（其中的a）和向量bi+cj+dk，它们用于表示电磁学中的电场矢量和电磁势标量。后来，矢量分析和线性代数也得到发展。经典力学、量子力学和量子场论中的真实或抽象旋转均由四元数表示。年轻人，这些内容你应该在研究生的时候学习，但是我建议你在大学的时候学习！请注意，四元数不满足交换律，也就是说，一般来说，

基本22矩阵的矢量部分可以用来描述电子的自旋，我们也可以看到量子力学和相对论的统一。为此，你需要的数学工具就是群论，而群论原来是一个“简单的”数学领域，“除了加减乘除之外只使用乘法”。是不是很可怕？

减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，连续乘法的逆运算带来了平方根的问题。除法对于数字的存在过于严格。（一元）整数除以整数的结果不一定是整数。对于多元数，除法更为关键。赫尔维茨定理表明，只有1元、2元、4元和8元的数才有除法，即两个数相除时，相同的数保持不变。赫尔维茨定理的证明需要深入的代数知识，而作者对此并不了解。我这里只讲结论。证明过程最终归结为整数N1是否能被数字2(N-2)/2整除的问题。我们看到只有N=2、4、8三种情况满足这个要求。换句话说，只有1、2、4和8进制数具有除代数。认识到可整除代数只存在于2元、4元和8元数中有何用处？让我举一个小例子。两个二进制（四，八）进制数的乘积仍然是二进制（四，八）进制数，因此两个二（四，八）进制数对平方取模的乘积仍然是二（四，八）进制数的乘积)以平方为模的进制数。如果两个（四或八）个数的实部和虚部都是整数，则任意两个（四或八）个整数的平方和的乘积仍然是两个（四或八）个数的平方和整数。这就是整数平方和的恒等式（参见曹则贤《惊艳一击-数理史上的绝妙证明》，FLTRP，2019）。如果您了解可除代数，那么整数平方和的恒等性证明就是一个简单的计算。如果你不懂可除代数，就很难证明它。

知道一、二、四、八四种可整除数系的存在，知道加、减、乘、除以及代数规则，知道二次、三次、一个变量的四次方程，以及五次及以上方程没有有限根式解（及其证明）。那门我们以为初中就学过的叫代数的课，我们才刚刚迈入它的大门，还没有正式开始。——那条赛道的背后是无限绚丽的风景。

在这篇文章中我介绍了我所知道的一小部分加减乘除知识，我所知道的只是加减乘除知识的冰山一角。小伙子，你还认为你会“加减乘除”吗？

我想用这篇文章来祝福那些真正想学习的年轻人。年轻人，不要骄傲，也不要灰心。好好学习，你的青春就不会留下遗憾！

注释

[1]关于自然数是否包含0，其实是有争论的。如果你看看0的概念，以及0的符号在最终被引入之前经历了多少困难，你就会知道0不是自然数。当你教孩子数数或检查物品时，是从0开始吗？数的性质首先是一个物理问题。