高等数学十二五规划教材(高等数学十大定理公式)

上一节首先给出了函数项序列的一致收敛定义，最后给出了函数项序列的一致收敛定义，即部分和函数序列一致收敛。下面将介绍相关条件和判别方法，以及一致收敛。收敛级数的性质。

函数项级数一致收敛的条件

函数项级数一致收敛的必要条件：

若函数项系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'角色='演示'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)inrametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'role='presentation'XX，则其一般项目序列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='{un(x)}'角色='演示文稿'{un(x)}\{u_n(x)\}inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收敛于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='0'role='presentation'00，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='un(x)#x21C9;0,x#x2208;X(n#x2192;#x221E;)。'角色='呈现'un(x)0,xX(n).u_n(x)\rightrightarrows0,x\inX(n\to\infty)。

（如果不收敛到零，则无穷项相加也不会收敛。这个和数值级数类似）

关于均匀收敛的柯西准则（函数项系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'role='presentation'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)inthesetrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='X'role='presentation'在XX上一致收敛的充要条件）：

0,\存在N(\varepsilon),s.t.if\nN(\varepsilon),\forallp\inZ^+,\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)\right|\varepsilon,for\rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;#x03B5;gt;0,#x2203;N(#x03B5;),s.t.if#xA0;ngt;N(#x03B5;),#x2200;p#x2208;Z+,|#x2211;k=n+1n+puk(x)|lt;#x03B5;对于#xA0;#x2200;x#x2208;X。角色='演示'0,N(),s.t.ifnN(),pZ+,|k=n+1n+puk(x)|,forxX.\forall\varepsilon0,\存在N(\varepsilon),s.t.if\nN(\varepsilon),\forallp\inZ^+,\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)\right|\varepsilon，对于X中的所有x。

（柯西准则说只要rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='n'role='presentation'nn如果足够大，后面几项的总和总是可以任意小，无论哪个ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x'角色='演示'xx。）

函数项级数一致收敛的判别法

强系列标准（Weierstrass标准或rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='M'role='presentation'MM判别方法）：

若函数项系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'角色='演示'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)'s通用项满足：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='|un(x)|#x2264;an,#x2200;x#x2208;X,n=1,2,#x22EF;'角色='演示'|un(x)|an,xX,n=1,2,|u_n(x)|\lea_n,\forallx\inX,n=1,2,\cdots和正系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;an'role='presentation'n=1an\sum_{n=1}^\inftya_n收敛，则函数项级数为rame'tabindex='0'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收敛。

(rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;an'角色='演示'n=1an\sum_{n=1}^\inftya_n称为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'角色='演示'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)的强级数

这种判别方法非常直观好理解。收敛域中的每一项都小于收敛正项级数的对应项，因此显然它本身是收敛的。强级数判别法本质上可以识别那些在通项加上绝对值后仍然一致收敛的级数。

为了给出更广泛范围的级数的判别式，我们首先引入一致有界函数序列的概念：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2203;M#x2208;R,|fn(x)|#x2264;M(n=1,2,#x22EF;#x2200;x#x2208;X)。'角色='呈现'MR,|fn(x)|M(n=1,2,,xX).\存在M\inR,|f_n(x)|\leM(n=1,2,\cdots,\对于所有x\inX)。

就像收敛性推广到一致收敛一样，这里一致有界性的本质是序列有界性的推广。

通过一致有界性的定义，我们可以将狄利克雷判别法和阿贝尔判别法迁移到函数项级数上。

狄利克雷判别法（单调一致收敛于零和部分且序列一致有界）：

若函数项系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;un(x)'角色='演示'n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)in集合RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'role='presentation'XX定义，其通用术语rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='un(x)'role='presentation'un(x)u_n(x)可以写成rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='un(x)=an(x)#x22C5;bn(x),#x2200;x#x2208;X。'角色='演示'un(x)=an(x)bn(x),xX.u_n(x)=a_n(x)\cdotb_n(x),\forallx\inX.

如果rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='un(x)'role='presentation'un(x)u_n(x)满足以下条件：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;X'角色='演示文稿'xX\forallx\in='演示文稿'{an(x)}\{a_n(x)\}到rame'tabindex='0'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n'role='presentation'nn单调，且rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='{an(x)}#x21C9;0,#x2200;x#x2208;X。'角色='演示'{an(x)}0,xX.\{a_n(x)\}\rightrightarrows0,\forallx\in=1nbk(x),#x2203;M#x2208;R,|Bn(x)|#x2264;M(#x2200;x#x2208;X,n=1,2,#x22EF;)。'角色='演示'IfBn(x)=k=1nbk(x),MR,|Bn(x)|M(xX,n=1,2,).If\B_n(x)=\sum_{k=1}^nb_k(x),\存在M\inR,\left|B_n(x)\right|\leM(\forallx\inX,n=1,2，\c点）。然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;an(x)#x22C5;bn(x)'角色='演示'n=1an(x)bn(x)\sum_{n=1}^\inftya_n(x)\cdotb_n(x)inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收敛。

与数值级数的狄利克雷准则相同，只是将趋于零且有界改为一致趋于零且一致有界。

Note:rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;sin#x2061;nx,#x2211;n=1#x221E;cos#x2061;nx'角色='演示'n=1sinnx,n=1cosnx\sum_{n=1}^\infty\sinnx,\sum_{n=1}^\infty\cosnx零件和序列一致且有界，rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='|#x2211;k=1nsin#x2061;kx|#x2264;1|sin#x2061;x2|.'角色='演示'|k=1nsinkx|1|sinx2|.\left|\sum_{k=1}^n\sinkx\right|\le\frac{1}{|\sin\frac{x}{2}|}。

阿贝尔准则（单调一致有界且一致收敛）：

若函数项系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;an(x)#x22C5;bn(x)'角色='演示'n=1an(x)bn(x)\sum_{n=1}^\inftya_n(x)\cdotb_n(x)满足：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;x#x2208;X'角色='演示文稿'xX\forallx\in='演示文稿'{an(x)}\{a_n(x)\}到rame'tabindex='0'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n'role='presentation'nn单调，且函数序列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='{an(x)}'角色='演示文稿'{an(x)}\{a_n(x)\}inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'role='presentation'XX均匀有界；系列rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='#x2211;n=1#x221E;bn(x)'角色='演示'n=1bn(x)\sum_{n=1}^\inftyb_n(x)内存中'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收敛。然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x2211;n=1#x221E;an(x)#x22C5;bn(x)'角色='演示'n=1an(x)bn(x)\sum_{n=1}^\inftya_n(x)\cdotb_n(x)inram'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'role='presentation'XX一致收敛。

无论是狄利克雷准则还是阿贝尔准则，在分解级数时，请注意您可以选择一个数值级数作为分解的一部分。毕竟，判断数值级数的有界性和收敛性显然比泛函项级数容易得多，而且其有界性和收敛性可以直接转移到泛函项级数上（看成常数函数，即Can）。

一致收敛级数的性质

和功能的连续性：

如果一系列函数项在某个区间上一致收敛，并且其每一项在该区间上连续，则其和函数在该区间上连续。

推理：

如果函数序列的每一项在区间上连续但与函数不连续，则级数在区间上不会一致收敛。

逐项计算产品：

如果级数函数项在区间上一致收敛且每项连续，则级数积分的求和符号与积分符号可以互换。

逐项求导数：

条件：对于一定区间，函数项级数逐点收敛，每项的导函数连续，且导数级数一致收敛。

结论：和函数可微，可以逐项求导，即和函数的导数等于每一项导数之和，且和函数的导数是连续的。

看起来这里均匀收敛级数的性质很多，信息量很大，但本质只是为了后面解释幂级数做铺垫，没必要详细研究原理。当然，仅仅粗略地考虑条件与结论之间的因果关系是不够的。不抽象。