怎么判断正弦函数的一个周期是否存在(怎么判断正弦函数的一个周期是否相等)
对于函数y=f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取域中的每个值时f(x+T)=f(x)成立，则函数y=f(x)称为周期函数，非零常数T称为该函数的周期。事实上，任何常数kT（kZ，且k0）都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数，并且周期函数不一定具有最小正周期。
决策定理
周期函数定理可以分为几种类型。
定理1
如果f(x)是一个周期函数，其中T*作为集合M上的最小正周期，则Kf(x)+C(K0)和1/f(x)是集合M且分别为以T*为{X/f(x)0,XM}上的最小正周期的周期函数。
证书：
T*是f(x)的周期，有XT*且f(x+T*)=f(x)，Kf(x)+C=Kf(x+T*)+C。
Kf(x)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T*不是Kf(x)+C的最小正周期，则必定存在T'(0T'T*)为Kf(x)+C的周期，则对于T'(0T'T*)是Kf(x)+C的周期有Kf(x+T')+C=Kf(x)+CK[f(x+T')-f(x)]=0,K0，f(x+T')-f(x)=0，f(x+T')=f(x)，
T’是f(x)的周期，与T*是f(x)的最小正周期不一致。T*也是Kf(x)+C的最小正周期。
同理，可以证明1/f(x)是集合{X/f(x)0，X}上以T*为最小正周期的周期函数。
定理2
如果f(x)是集合M上的周期函数，以T*为最小正周期，则f(ax+n)是集合{x|ax+bM}上的周期函数，其中T*/a作为具有正周期的最小A周期函数（其中a和b是常数）。
证书：
先证者的周期f(ax+b)。
T*为f(x)的周期，f(xT*)=f(x)，有XT*M，将x替换为ax+b，f(axT*+b)=f(ax+b)，此时ax+bM，提取a作为公因子，f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)T*/a是f(ax+b)的周期。
再次证明它是f(ax+b)的最小正周期。
假设有一个周期T'/a(0T'T*;)即f(ax+b)，则f(a(x+T'/a)+b)=f(ax+b)，使用x/a-b/a替换x，并且f(x+T')=f(x)
T’是f(x)的周期，但T’T*与T*是f(x)的最小正周期不一致。
不存在f(ax+b)的周期T’/a(0T’T*;)，即f(ax+b)的最小正周期为T*/a。[1]
定理3
假设f(u)是定义在集合M上的函数，u=g(x)是集合M1上的周期函数，当XM1，g(x)M时，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。
证书：
假设T是u=g(x)的周期，则1有(xT)M1且g(x+T)=g(x)f(g(x+T))=f(g(X））
=f(g(x))是M1上的周期函数。
示例1
假设=f(u)=u2是非周期函数，u=g(x)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。
同理可得：f(x)=Sin(cosx),f(x)=Sin(tgx),f(x)=Sin2x,f(n)=Log2Sinx(sinx0)也是周期函数。
实施例2
f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数函数（中学数学认证）。
实施例3
f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)=（非周期函数）且f(g(x))=cos是非周期函数。
证明：假设cos是周期函数，则存在T0使得cos(kZ)与T是独立于X的常数的定义相矛盾，
cos不是周期函数。
如示例2和示例3所示，如果f(u)是周期函数并且u=g(X)是非周期函数，则f(g(x))可能是也可能不是周期函数。
定理4
假设f1(x)和f2(x)都是集合M上的周期函数，T1和T2分别是它们的周期。若T1/T2Q，则它们的和、差、积也是M上的周期函数。T1和T2的公倍数就是它们的周期。
证书：
假设((p·q)=1)假设T=T1q=T2p，则：(xT)=(xT1q)=(xT2p)M，且f1(x+T)f2(x+T)=f1(x+T1q)f2(x+T2p)=f1(X)f2(X),f1(X)f2(X)基于T1和T2的公倍数T为周期周期函数。同理，可以证明f1(x)和f2(x)是以T为周期的周期函数。
推理
假设f1(x)、f2(x).fn(x)分别是集合M上的有限数量的周期函数T1、T2.Tn，如果.（或T1、T2中的任何一个。Tn两者之比）都是有理数，那么这n个函数的和、差、积也是M上的周期函数。
示例1
f(x)=Sinx-2cos2x+sin4x是周期函数，周期为2，即2、和/2的最小公倍数。
实施例2
讨论f(X)=的周期性。
解：2tg3是以T1=为最小正周期的周期函数。
5tg是以T2为最小正周期的周期函数。
tg2是周期函数，T3=为最小正周期。
它们都是有理数
f(x)是以T1,T2,T3(T1,T2,T3)=的最小公倍数作为最小正周期的周期函数。
同样的原理可以证明：
f(x)=cos；
f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。
定理5
假设f1(x)=sina1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)的和、差、积为周期函数的充要条件为a1/a2Q。
证书：
先证者充分性：
如果a1/a2Q，则令T1和T2分别为f1(x)和f2(x)的最小正周期。根据定理4，我们可以得到f1(x)和f2(x)的和、差、乘积都是周期函数。
重新证明必要性（仅证明f1(x)和f2(x)的差和乘积）。
假设sina1x-cosa2x是周期函数，则必有常数T0，
令sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x2cos(a1x+T)sin=-2sin(a2x+T)sin。
设x=2cos(a1x+T)，则(KZ)。
或CZ
并在中令2sin(a2x+T)sin=-2sin=0
从
由罪
根据上述(2)和(3)，(4)和(5)至少之一为真。
由,得
无论、、中哪一个公式成立，都有a1/a2。
假设sinaxcosa2x是周期函数，则是周期函数。
测定方法
周期函数的确定方法分为以下步骤：
(1)判断f(x)的定义域是否有界；
示例：f(x)=cosx(10)不是周期函数。
（2）根据定义，在讨论函数的周期性时，可以看出，在f(x+T)=f(x)的关系中，非零实数T与x无关。因此，可以通过求解方程f(x+T)-f(x)=0来解决讨论。如果我们可以求解一个与x无关的非零常数T，我们可以得出函数f(x)是周期函数。如果这样的T不存在，则f(x)是非周期函数。
示例：f(x)=cosx^2是非周期函数。
(3)一般用反证法证明。（如果f(x)是周期函数，则导出矛盾，而f(x)是非周期函数）。
例子：证明f(x)=ax+b(a0)是非周期函数。
证明：假设f(x)=ax+b是周期函数，则T(0)存在，则a(x+T)+b=ax+bax+aT-ax=0，aT=0另外，a0，T=0与T0不一致，f(x)是非周期函数。
示例：证明f(x)=ax+b是非周期函数。
证明：假设f(x)是周期函数，则必然存在一对T(0)，其中(x+T)=f(x)。当x=0时，f(x)=0，但x+T0，f(x+T)=1，f(x+T)f(x)与f(x+T)矛盾=f(x),f(x)是非周期函数。