特征值特征向量的求法汇总(特征值与特征向量视频讲解)
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1.如何求已知元素的矩阵的特征值
示例[1037]求矩阵rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A=[]'role='presentation'A=[]A=\left[\begin{array}{lll}123\\213\\的特征值和特征向量336\end{数组}\right]。
解决方案：(1)是找到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A'role='presentation'A\boldsymbol{A}的特征值，改变rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='|#x03BB;E#x2212;A|'角色='演示'|EA||\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|分解为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x03BB;'role='presentation'\lambda线性因子的乘积，为此目的ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='|#x03BB;E#x2212;A|'角色='演示'|EA||\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|='演示'\lambda线性因子：
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='|#x03BB;E#x2212;A|=|#x03BB;#x2212;1#x2212;2#x2212;3#x2212;2#x03BB;#x2212;1#x2212;3#x2212;3#x2212;3#x03BB;#x2212;6|=|#x03BB;+1#x2212;2#x2212;3#x2212;#x03BB;#x2212;1#x03BB;#x2212;1#x2212;30#x2212;3#x03BB;#x2212;6|=(#x03BB;+1)|1#x2212;2#x2212;3#x2212;1#x03BB;#x2212;1#x2212;30#x2212;3#x03BB;#x2212;6|=|1#x2212;2#x2212;30#x03BB;#x2212;3#x2212;60#x2212;3#x03BB;#x2212;6|=(#x03BB;+1)[(#x03BB;#x2212;3)(#x03BB;#x2212;6)#x2212;18]=(#x03BB;+1)(#x03BB;#x2212;9)#x03BB;'角色='演示'|EA|=||=|+|=(+1)||=||=(+1)[(3)(6)18]=(+1)(9)\begin{数组}{r}|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1-2-3\\-2\lambda-1-3\\-3-3\lambda-6\end{数组}\right|=\left|\begin{数组}{ccc}\lambda+1-2-3\\-\lambda-1\lambda-1-3\\0-3\lambda-6\end{数组}\right|\\=(\lambda+1)\left|\begin{array}{ccc}1-2-3\\-1\lambda-1-3\\0-3\lambda-6\end{array}\右|=\左|\开始{数组}{ccc}1-2-3\\0\lambda-3-6\\0-3\lambda-6\end{数组}\右|=(\lambda+1)[(\lambda-3)(\lambda-6)-18]=(\lambda+1)(\lambda-9)\lambda\end{array}\\rame'tabindex='0'style='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#xA0;#x6545;#xA0;A#xA0;#x7684;#x4E09;#x4E2A;#x7279;#x5F81;#x503C;#x4E3A;#xA0;#x03BB;1=#x2212;1,#x03BB;2=0,#x03BB;3=9.#xA0;'role='presentation'因此，A的三个特征值是1=1,2=0,3=9。\text{因此}\boldsymbol{A}\text{的三个特征值是}\lambda_{1}=-1，\lambda_{2}=0，\lambda_{3}=9\text{.}\\
(2)求rame'tabindex='0'style='font-size:100%时的特征值对应的特征向量；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;1=#x2212;1'role='presentation'1=1\lambda_{1}=-1，对应齐次线性方程组rame'tabindex='0'style='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(A#x2212;#x03BB;E)X=(A+E)X=0'角色='演示'(AE)X=(A+E)X=0(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})\boldsymbol{X}=\mathbf{0}，现在
rame'tabindex='0'data-mathml='[][x1x2x3]=[000]'角色='演示'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'[][x1x2x3]=[000]\left[\begin{array}{lll}223\\223\\337\end{array}\right]\left[\开始{数组}{l}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\结束{数组}\right]=\left[\开始{数组}{l}0\\0\\0\end{数组}\right]\\
所以
rame'tabindex='0'data-mathml='A+E=[]#x2192;[113/]=B'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'A+E=[][113/]=B\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{l}223\\223\\337\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{ccc}113/2\\001\\000\end{array}\right]=\boldsymbol{B}\\
所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='r='角色='演示'r=r=排名rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(A+E)=2,n#x2212;r=3#x2212;2=1'角色='演示'(A+E)=2,nr=32=1(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=2,n-r=3-2=1其基本解系统仅包含一个线性无关的解向量。与方程组(1)有相同解的方程组为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1+x2+(3/2)x3=0'角色='演示'x1+x2+(3/2)x3=0x_{1}+x_{2}+(3/2)x_{3}=0,取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2,x3'role='presentation'x2,x3x_{2},x_{3}为自变量，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1'role='presentation'x1x_{1}是一个自由变量，并采用rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1=#x2212;1,x3=0'role='presentation'x1=1,x3=0x_{1}=-1,x_{3}=0，代入上式得到rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x2=1'role='presentation'x2=1x_{2}=1，所以它的基本解是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B1;1=[x1,x2,x3]T='角色='演示'1=[x1,x2,x3]T=\alpha_{1}=\left[x_{1},x_{2},x_{3}\right]^{T}=rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='[#x2212;1,1,0]T'角色='演示'[1,1,0]T[-1,1,0]^{T}，或rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='B'role='presentation'B\boldsymbol{B}转换为包含最高阶单位矩阵的矩阵，我们得到
rame'tabindex='0'data-mathml='A+E#x2192;B#x2192;[]'角色='演示'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'A+EB[]\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}\rightarrow\boldsymbol{B}\rightarrow\left[\begin{array}{lll}110\\001\\000\end{数组}\right]\\
由于第1列和第3列取的是高阶单位矩阵，所以它的基本解是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B1;1=[#x2212;1,1,0]T'角色='演示'1=[1,1,0]T\boldsymbol{\alpha}_{1}=[-1,1,0]^{\mathrm{T}}，所以函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;1=#x2212;1'角色='演示'1=1\lambda_{1}=-1rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A'role='presentation'A\boldsymbol{A}所有特征向量都是随机的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='k1#x03B1;1'角色='演示'k11k_{1}\alpha_{1}(rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:green;'data-mathml='k1#x2260;0'role='presentation'k10k_{1}\neq0是任何常数）。
当rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;2=0'role='presentation'2=0\当lambda_{2}=0时，求解方程ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AX=0'role='presentation'AX=0\boldsymbol{AX}=\mathbf{0}，求其基本解系。从
rame'tabindex='0'data-mathml='A=[]#x2192;[1230#x2212;3#x2212;30#x2212;3#x2212;3]#x2192;[]#x2192;[]'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'A=[][][][]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}123\\213\\336\end{数组}\right]\rightarrow\left[\begin{数组}{ccc}123\\0-3-3\\0-3-3\end{数组}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{lll}123\\011\\000\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{ccc}101\\011\\000\end{数组}\right]\\
而求基本解系的简单方法是，基本解系为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x03B1;2=[#x2212;1,#x2212;1,1]T'角色='演示'2=[1,1,1]T\boldsymbol{\alpha}_{2}=[-1,-1,1]^{\mathrm{T}}，则属于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03BB;2=0'角色='演示'2=0\lambda_{2}=0rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='A'角色='演示文稿'A\bold
symbol{A}的全部特征向量为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="k2α2(k2≠0"role="presentation">k2α2(k2≠0k_{2}\alpha_{2}\left(k_{2}\neq0\right.为任意常数rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml=")"role="presentation">)).
当rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ3=9"role="presentation">λ3=9\lambda_{3}=9时,解方程组rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(A?9E)X=0"role="presentation">(A?9E)X=0(\boldsymbol{A}-9\boldsymbol{E})\boldsymbol{X}=\mathbf{0},求其基础解系.由
rame"tabindex="0"data-mathml="A?9E=[?8232?8333?3]→[?5505?50?1?11]→[1?100?]"role="presentation"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;">A?9E=[?8232?8333?3]→[?5505?50?1?11]→[1?100?]\boldsymbol{A}-9\boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{ccc}-8&2&3\\2&-8&3\\3&3&-3\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{ccc}-5&5&0\\5&-5&0\\-1&-1&1\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\0&-2&1\\0&0&0\end{array}\right]\\
及基础解系的简便求法即得基础解系为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="α3=[1,1,2]T"role="presentation">α3=[1,1,2]T\alpha_{3}=[1,1,2]^{T}.故属于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ3=9"role="presentation">λ3=9\lambda_{3}=9的rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="A"role="presentation">AA的全部特征向量为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="k3α3(k3≠0"role="presentation">k3α3(k3≠0k_{3}\alpha_{3}\left(k_{3}\neq0\right.为任意常数)
2.抽象矩阵的特征值
例【1043】设rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ≠0"role="presentation">λ≠0\lambda\neq0是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m"role="presentation">mm阶矩阵rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Am×nBn×m"role="presentation">Am×nBn×mA_{m\timesn}B_{n\timesm}的特征值,证明rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ"role="presentation">λ\lambda也是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="n"role="presentation">nn阶矩阵rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="BA"role="presentation">BABA的特征值
证:利用特征值的定义证明.设rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ"role="presentation">λ\lambda为矩阵rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="AB"role="presentation">ABAB的任一非零特征值,rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="α"role="presentation">α\alpha是对应于它的特征向量,即
rame"tabindex="0"data-mathml="ABα=λα?(1)?"role="presentation"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;">ABα=λα(1)\boldsymbol{AB}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}\text{(1)}\\
为在式(1)左边出现矩阵rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="BA"role="presentation">BABA,用rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="B"role="presentation">BB左乘式(1)两边,得到
rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="B(ABα)=B(λα),即?(BA)(Bα)=λ(Bα)"role="presentation">即B(ABα)=B(λα),即(BA)(Bα)=λ(Bα)\boldsymbol{B}(\boldsymbol{AB}\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{B}(\lambda\boldsymbol{\alpha})\text{,即}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha})=\lambda(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha})\\
如能证rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Bα≠0"role="presentation">Bα≠0\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha}\neq\mathbf{0},则由上式即得rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ"role="presentation">λ\lambda为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="BA"role="presentation">BA\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}的特征值事实上,如rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Bα=0"role="presentation">Bα=0B\alpha=0,则由式(1)得到rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λα=0"role="presentation">λα=0\lambda\alpha=0,而rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ≠0"role="presentation">λ≠0\lambda\neq0,故rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="α=0"role="presentation">α=0\alpha=0.这与rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="α"role="presentation">α\alpha为特征向量相矛盾,故rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Bα≠0"role="presentation">Bα≠0B\alpha\neq0
往期知识点-数学概念篇
列1
1.映射
4.函数极限性质
7.极限存在准则
10.微分中值定理
13.曲率
16.分布积分法
19.无界函数审敛法
22.平面方程
25.空间曲线投影
28.向量函数求导
31.梯度
34.含参积分
37.收敛级数性质
40.矩阵与方程组
43.相似与二次型
46.样本均值|方差
列2
2.函数特性
5.连续性与间断点
8.高阶导|莱布尼茨
11.洛必达法则
14.不定积分理解
17.不定积分技巧
20.微分方程基础
23.空间曲线
26.多元复合函数
29.曲线法平面
32.拉格朗日
35.格林公式I
38.级数审敛法
41.线性相关
44.概率运算|概型
列3
3.数列收敛
6.最值|介值|零点
9.参数与隐函数
12.泰勒公式
15.换元积分法
18.反常积分审敛法
21.微分方程进阶
24.旋转曲面
27.隐函数定理
30.方向导数
33.二重积分技巧
36.格林公式推论
39.幂级数审敛法
42.正交与特征值
45.贝叶斯公式
往期知识点-数学技巧篇
列1
1.定义域求解
4.数列极限技巧
7.中值不等式
10.洛必达法则
13.分部积分法
16.三角不定积分
19.变限积分证法
22.变限积分根值
25.定积分不等式2
28.平面曲线积分
31.旋转曲面
34.复合函数求导
37.正项级数敛散
40.比较审敛法
43.函数变幂级数
46微分求函数
49.行列式性质
52.逆矩阵求法
55.伴随矩阵
58.分块矩阵运算
61.矩阵秩的求法
64.线性表示定理
67.反求齐次方程
列2
2.函数求解技巧
5.高阶导数求解
8.区间不等式
11.方程根的个数
14.三角函数积分
17.变限积分求解
20.变限积分性质
23.定积分简化
26.反常积分敛散1
29.向量运算法则
32.二元函数极限
35.简化二重积分
38.交错级数收敛
41.幂级数审敛法
44.常数项级数
47.行列式运算
50.范德蒙行列式
53.矩阵方程求解
56.矩阵行列式
59.高次幂矩阵
62.线性相关|无关
65.方程组解|判定
68.方程组解关系
列3
6.中值等式命题
9.数值不等式
12凑微分求积分
15.定积分简化
18.变限积分极限
21.定积分方程根
24.定积分不等式1
27.反常积分敛散2
30.点线面距离
33.可微偏导连续
36.二次积分转换
39.常数项级数
42.幂级数和函数
45.常系数微分
48.对角线行列式
51.可逆阵求解
54.对称与反对称
57.零相关行列式
60.矩阵初等变换
63.向量组线性
66.基础解系求法