数学平行垂直定理(初中平行与垂直)

《平行垂直》中你不可忽视的知识点

一、知识梳理

1、平行线的定义：

不在同一平面内相交的两条直线称为平行线。

2、平行的表示：

用符号“”表示，发音为“平行于”。

3、同一平面内两条直线的位置关系：

平行或相交。

4、平行公理：

通过直线外一点，存在且只有一条与已知直线平行的直线。

5、平行的传递性：

与同一条直线平行的两条直线平行。

6、平行与角的联系：

如果一个角的两条边与另一个角的两条边平行，则这两个角相等或互补。

7、垂直定义：

如果两条直线所成的四个角中有一个是直角，则这两条直线互相垂直。

其中一条直线称为另一条直线的垂线。它们的交点称为垂直脚。

两条线段和射线垂直是指这两条线段和射线所在的直线互相垂直。

8、垂直的表示：

用符号“”表示，发音为“垂直于”。

9、垂直公理：

存在且仅有一条与通过一点的已知直线垂直的直线。

10、点到直线的距离：

从直线外一点到直线的垂直线段的长度。

11、垂线段的性质：

连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂直线段最短。

12、垂直与角的联系：

如果一个角的两条边垂直于另一个角的两条边，则这两个角相等或互补。

二、典型例题

示例1.概念分析

(1)两条不相交的直线称为平行线。

(2)两条直线不相交则平行。

(3)两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行。

(4)不在同一平面内相交的两条线段必须平行。

(5)过一点，存在且只有一条与已知直线平行的直线。

(6)同一平面内与同一条直线垂直的两条直线互相平行。

(7)A点为直线l外的点，B点为直线l上的点。若AB=5cm，则A点到直线l的距离为5cm。

解析：

(1)错误，必须在同一平面内相加，否则在立体几何中，会出现平面外的情况。例如，对于正方体，上边缘与正面相交、右边缘与背面相交的直线既不平行也不相交。

分析：

要求垂直线段，首先要找到所有的垂直脚，因为垂直线段就是直线以外的点到垂直脚的距离。这里的垂直脚显然只有P和H，所以O点和C点可以与P点和H点构成垂直线段。

为了将垂直线段的长度解释为从哪一点到哪条直线的距离，必须选择垂直线段的两个端点之间的不是垂直脚的点到垂直于另一条直线的距离。垂直线段所在的垂直线段。

解答：

(1)OP，OP的长度是点O到直线PC的距离。

CP，CP的长度是点C到直线OB的距离。

OH，OH的长度是点O到直线PH的距离。

CH，CH的长度是点C到直线PH的距离。

PH，PH的长度是点P到直线OC的距离。

(2)PHPCOC。

三、思维提升

示例3.思考类作图

已知同一平面内线段AB的长度为10cm，则A点和B点到直线l的距离分别为6cm和4cm。满足条件的直线有多少条？

分析：

显然，学生都能想到画线段AB的垂线，并将线段AB分成6cm和4cm两部分。但实际上，线段AB两侧有两个圆，以A和B为圆心，半径分别为6cm和4cm。当画出的直线与两个圆只有一个交点时，也符合题意。这样的直线有两条，即总共有三条。

到了初三，我们就会知道这三条线就是画的两个圆的切线。

解答：

如图，红色的三条直线就是你想要的。

变体

如图所示，在平面中，两条直线l1和l2相交于点O。对于平面中的任意点M，如果p和q分别是点M到直线l1和l2的距离，则(p,q)称为点M的“距离坐标”。根据上述规定，有________个点，其“距离坐标”为(2,1)。

分析：

我们可以先找到线，再确定点。首先找到距离l1距离为2的直线和距离12距离为1的直线。显然，它们的交点就满足了题意。

画完图不难发现，有2条距离l1距离为2的直线和2条距离12距离为1的直线。这4条直线相互相交，有4个交点。这4个交点就是‘距离坐标’，就是(2,1)的点。

解答：

如图所示，距离l1距离为2的直线是两条蓝色直线，距离12距离为1的直线是两条红色直线。这四个交点就是所寻求的。