氢原子径向波函数公式(氢原子和类氢原子的径向波函数)
1月28日12:00，《张朝阳的物理课》第二十三集播出。搜狐创始人、董事长兼首席执行官张朝阳坐在搜狐视频直播间，继续讨论氢原子问题。他首先回顾了与氢原子相关的三个重要算子，回顾了上次波函数角部分的结果，补充了量子叠加的概念，然后开始具体求解薛定谔方程的波函数径向部分。
通过分析r趋于0和r趋于无穷大的情况，张朝阳猜测了径向波函数解的近似形式，并对氢原子的径向薛定谔方程进行了变形和简化。将解表示为级数展开式，推导其系数的递推关系，并求解量子化氢原子的能级和径向波函数。通过分析电子的概率分布，寻找r方向的最大值，得到氢原子半径。
分析r趋于0与无穷的渐进行为化简与变形氢原子径向薛定谔方程
“我们长期以来一直在与氢原子竞争。”张朝阳在直播间一开始就说道，“宇宙中的第一元素是氢，如果你认识了氢，你就会认识世界，包括认识我们自己，认识每个人有多少碳水化合物？”
在开始解释氢原子的径向波函数之前，张朝阳回顾了上次角波函数的结果，并补充说利用量子叠加的概念，可以得到不同方向旋转的角波函数，从而完成了文章关于氢原子。所有关于角度方向的讨论。本课是求解氢原子的最后一步。张朝阳将带领网友求解氢原子的径向薛定谔方程。
该方程与氢离子方程类似。它比前面课程中的方程多了一个Z，它代表原子核携带的电荷数。氢原子Z=1意味着氢原子核带有1个单位的正电荷。引入Z是为了方便下一堂课讨论多电子原子。为了方便起见，此类氢离子方程仍称为氢原子方程。
“为了让它看起来简单。”他首先介绍了求解方法，“我们定义以下两个新参数来简化这个方程。”
并定义一个新函数u：
这样，径向薛定谔方程可以简化为：
“但是，这种新形式的方程仍然很难求解。如果我们仍然强制使用级数展开式来求解，则递推关系将非常复杂。”他指出了问题所在。“为了进一步简化，我们首先分析它在r趋于无穷大和r趋于0时的渐近行为。”他边分析边推导，当r趋于无穷大时，方程会变得非常简单，函数u可以求解当r趋于无穷大时，有如下渐近行为。他还提到，另一种解被丢弃，因为它不满足波函数的束缚态条件。
他继续推论，随着r趋于0，方程变得更简单。还可以解出，当r趋于0时，u函数有如下渐近行为。另一个解对应的波函数在r=0时过于发散，导致粒子出现在此处任意小体积元素的概率为是无限的，所以也被丢弃。
最后，具体提取了两者的渐近行为，并定义了一个新的函数R：
并将该关系式代入u满足的方程中，可得R满足的方程：
因此，我们只需求解R即可求解氢原子的径向薛定谔方程。
级数解法与递推关系解出能级与径向波函数
为了求解R，类比上一节求解勒让德方程的方法，张朝阳将R写成级数展开式的形式：
将其代入R所满足的方程中，即可得到其系数所满足的递推关系：
他说，如果这个级数有无穷项，那么k可以取无穷大，当k很大时，可以发现R的展开系数之间的递推关系就是e索引。同样，即当r趋于无穷大时，函数R(r)根据e呈指数发散。将原来的波函数的表达式代入回去，会发现波函数不满足束缚态的条件。
因此，为了获得束缚态，或者说为了使径向波函数在无穷远趋于0，必须要求这个级数不能是无穷多项式，即必须有截断，而对应的条件是，在某个k时，上述递推关系的分子为零。
“这样，大于k的展开系数都为0了。”他给出了答案：“根据和E的关系，可以具体写出能量的表达式。”
（氢原子的离散能级由递推关系推导出来）
通过推导可以清楚地看出，氢原子的能级是离散的，而不是像经典力学那样连续的。
张朝阳进一步利用u与R的关系以及径向波函数与u的关系，得到径向波函数的表达式：
他介绍，如果将这个径向波函数归一化，并与上一课求解的角波函数结合起来，就可以得到氢原子整体波函数的表达式：
“N称为主量子数，用于标记能级。l称为角量子数，用于标记角动量。m称为磁量子数，用于标记z角动量的分量。”他解释道。
（终于解决了氢原子波函数）
解决完氢原子的径向波函数后，张朝阳带着网友详细观察了氢原子的基态。此时，Z设为1，n设为1，l和m均设为0。根据量子态的概率解释，可以利用径向波函数来计算电子出现在不同半径的球壳。
可以发现，当球壳半径恰好为玻尔半径时，电子出现的概率最大，即氢原子半径恰好为玻尔半径。这说明氢原子的薛定谔方程求解出的氢原子半径与粗略的旧量子力学完全一致。由此产生的氢原子半径惊人地一致。
(氢原子半径的推导)
在推导过程中，因为需要大量的数学知识，张朝阳一度开玩笑说，“今天是数学课，你跟我学数学。”他还解释说，“我们的班级，无论是大学水平还是初中水平，无论水平如何，我们都是来解决问题的，山上开路，水里架桥，需要什么就学什么””。
搜狐视频发力知识直播传播知识玩转科学
自11月5日至今，《张朝阳的物理课》已直播20余场。第一课和第二课中，张朝阳科普了“力”和“速度”，并计算了马斯克的飞船和中国空间站每天的轨道数。第三、四课与“振动”相关，普及了可见光的基础知识。知识；第五课和第六课引发了关于声速和温度的大讨论；在第七课、第八课和第九课中，我们重新审视了经典物理学的两朵乌云。
第10课和第11课重点复习黑体辐射曲线及其应用；第12、13、14课尝试进入爱因斯坦的思想世界，推导出著名的公式“E=mc”，并演示时钟慢尺的收缩效应；第15课解释了原子的结构和原子核的衰变；第16课开始进入量子力学，讨论光的波粒二象性、康普顿散射、海森堡测不准原理、薛定谔方程等。
从20多节物理课就可以看出，《张朝阳的物理课》的直播风格是独一无二的。——观察日常生活现象，用网友最熟悉的话题来增强兴趣，然后通过公式推导解释其背后的物理原理，“透过现象看本质”，进而解决生活中的类似问题。
张朝阳认为，研究自然世界是一件特别有趣的事情。他希望物理课上的观众能够保持好奇心，“在好奇心的驱使下，了解自然的奥秘，了解我们在这个世界上生存的原理”。在后续课程中，他将继续以这种直播方式讲解生活中常见的物理现象，让普通人看得懂、专业人士认得，激发一股科学学习的热潮。课程每周五、周日12点在搜狐视频直播。同时，网友可在搜狐视频“关注直播”中搜索“张朝阳”，观看往期完整视频回放。
除了《张朝阳的物理课》之外，搜狐视频还邀请了多家普教主播进行科普知识传播，传递价值。北京交通大学理学院教师陈政博士玩“有趣的科学实验”，走进“光的波粒二象性”；鲍坤，博士康奈尔大学物理化学博士，成为“玩科学的包先生”。教普通人如何理解2021年诺贝尔奖；刘伯阳，博士天体物理学博士，科普“日全食是如何发生的？”而最近走红的理论物理学博士后周思怡也来到搜狐视频开设了《弦论的世界》直播课。未来将会有更多的知识主播加入进来，一起互动、玩转科学。