数学分析微分和导数视频(微分导数区别)

在数学史上，微积分的创造是继欧几里得几何之后最伟大的创造之一。17世纪微积分首先解决了四类科学问题：1给定加速度-时间函数，求物体的速度和移动距离；22.求曲线的正切；3.求函数的最大值；4.求曲线弧长、曲线围成的面积等。

今天，我们将学习微积分中的微分和导数。

第1节讨论微分和导数的概念：

假设f(x)定义在邻域U(x0)中。当给定增量x且满足x+x0U(x0)时，若存在与x无关的常数A，则可得到函数增量y=f(x+x0)-f(x0)，则可表示为y=A*x+o(x)，则称f(x)在x0点可微，A*x为函数在x0处的微分，记为dy|x=x0=A*x。我们可以看到，微分是一个增量线性函数，微分dy与增量y和高阶无穷小o(x)之间存在关系：y=dy+o(x)。请注意，这里的可微性是点状态可微连续性定理：如果f(x)在x0处可微，则函数在x0处连续。假设f(x)定义在邻域U(x0)中。如果极限lim[(f(x0+x)-f(x0))/x]x-0存在，则称f(x)在x0点可微，这个极限值称为函数的导数在x0处，记为f`(x0)。这里的定义也是逐点的。可以看出，极限传达了可微性和可微性。limy/xx-0=lim{A*x+o(x))/x=Ax-0导数由极限描述。极限分为左极限和右极限，不难得出导数分为左导数和右导数。左导数和右导数统称为单边导数。导数存在定理：导数f`(x0)存在==该点的左、右导数都存在且相等。即f`-(x0)=f`+(x0)是可微-可微定理：f(x)在x0可微==f(x)在x0可微，且A=f`(x0)；即y=f`(x0)x+o(x)。有限增量公式基于可微连续定理和可微-可微。可以得出结论，如果f在x0处可微，则它在x0处连续。体现了可微、可导、连续的关系。导函数，简称导数：如果函数f在区间I内的每一点都可微，则称为f在I上的可微函数。提醒一下，每个点都是可微的，可以推论每个点都是连续的，可以得出它是一致连续的，即I上的可微函数是I上的一致连续函数。注意与前面知识的连续性、连续性和导数、微分关系。关闭。第2节重点介绍导数方法和导数公式：

导数的定义：lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)x-x0导数的四次算术运算与函数极限的四次算术运算类似。加减定理：如果函数u(x)和v(x)在x0处可微，则函数f(x)=u(x)v(x)在x0处可微，且f`(x0)=u`(x0)v`(x0)乘法定理：如果函数u(x)和v(x)在x0处均可微，则函数f(x)=u(x)v(x)在x0可微，且f`(x0)=u`(x0)v(x0)+u(x0)v`(x0)推论：如果函数v(x)在x0处均可微，并且C是常数，那么函数Cv(x)在x0处可微，且(Cv(x0))`=Cv`(x0)除法定理：如果函数u(x)、v(x)在x0处可微，并且v(x0)0，则函数f(x)=u(x)/v(x)在x0处可微，且f`(x0)=[u`(x0)v(x0)-u(x0)v`(x0)]/(v(x0))^2反函数推导定理：令y=f(x)为x=(y)的反函数。如果(y)在点y0的邻域内连续，则它是严格单调的。且`(y0)0，则f(x)在x0上可微，且f`(x0)=1/`(y0)复合推导定理：y=f(u)在u0,u上可微=g(x)在x0处可微，u0=g(x0)，则复合函数fOg在x0处可微，且(fOg)`(x0)=f`(u0)·g(x0)=f(g(x0))·g`(x0)，这也称为链式法则。第三节讲微分的计算和应用：根据导数规则，dy=f`(x)dxxI，不难推导出微分运算规则

d[u(x)v(x)]=du(x)dv(x)d[u(x)·v(x)]=v(x)·du(x)+u(x)·dv(x)d[u(x)/v(x)]=(v(x)du(x)-u(x)dv(x))/v^2(x)d[fOg(x)]=f`(u)g(x)dx，其中u=g(x)，du=g`(x)dx，这称为一阶微分形式不变性，可以用来推导积分代换公式。应用：工程中的近似计算，取x0=0，x=x，在x0=0附近，f(x)f(0)+f`(0)x，当|x|时足够小，sinxx，tanxx，ln(1+x)x，1/(1+x)1-x，e^x1+x；也用在测量误差、高阶导数和高阶微分第四节中，前面提到的微分和导数都是一阶的，这里我们学习高阶的：

一阶导数的导数就是二阶导数。其定义与一阶导数类似。这里只讲形式：lim(f`(x)-f`(x0)/(x-x0)=f`(x0)，同样有三阶导数，n-阶导数。高阶导数公式：y^(n)=[y^(n-1)]`高阶导数运算规则：1)[Cu(x)]^(n)=Cu^(n)(x)C是常数2)[u(x)v(x)]^(n)=[u(x)]^(n)[v(x)]^(n)3)[u(x)v(x)]^(n)=Cn^ku^(n-k)(x)v^(n)(x)，莱布尼茨公式的二阶微分：d(dy)=d(f`(x)dx)=(f``(x)dx)·dx=f``(x)(dx)^2，记为d^2y=f``(x)dx^2n阶微分：d^ny=f^(n)(x)dx^n，从二阶微分开始，失去微分形式的不变性第五节，参数方程和导数，偏向应用

参数方程的定义：用辅助变量t表示高阶导数之间的关系——摆线方程本章最重要的是导数和微分的概念和公式。接下来的两节更实用。