巧妙求函数最值公式(巧妙求函数最值例题)

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这是2022年高考数学全国文科卷子A最后的填空题。这是一个求解三角形的问题，但其核心步骤是找到函数的最大值。需要对其进行变形，利用一致不等式来更巧妙地解决问题。

已知ABC中，点D在边BC上，ADB=120度，AD=2，CD=2BD.当AC/AB取最小值时，BD=______.

请您亲自尝试一下！

分析：首先画一张草图，这对解决问题会有很大的帮助。否则，就像人的眼睛被蒙住了一样，就像一只无头苍蝇不知道飞向哪里，除非你有一个超级大脑，可以在头脑中构建图形并分析图形和问题。反正老黄是做不到的。

这张图一点也不复杂。解决问题的突破口在于余弦公式的应用。在三角形ABD中，表达了角ADB的余弦公式。角ADB的大小为120度，对边为AB，从而得到：

AB^2=BD^2+AD^2-2BD·AD·cos120度=BD^2+2BD+4；

在三角形ACD中，还表达了角度ADC的余弦公式。因为角度ADC和角度ADB是互补角，角度ADC等于60度，对边为AC，所以有：

AC^2=CD^2+AD^2-2CD·AD·cos60度=4BD^2-4BD+4.

比较两个余弦公式，我们有：

(AC/AB)^2=(4BD^2-4BD+4)/(BD^2+2BD+4)=4-(12(BD+1))/(BD+1)^2+3).

(AC/AB)^2可以看成是一个关于BD的函数，将问题转化为求函数最优值的问题。因为当(AC/AB)^2最小时，AC/AB也最小。但我们想要的并不是这个最小值，而是得到最小值时BD的值。

寻找这个函数最优值的方法有很多，但黄认为使用均值不等式相对简单。但平均不等式不能直接应用。因此，函数的分数作为减数必须采用倒数的形式。现在：

记M=((BD+1)^2+3)/(BD+1)=BD+1+3/(BD+1).

只要M最小，那么M的倒数就最大，即原函数作为减数部分的分数最大，原函数最小。显然M的表达可以使用均值不等式。

当BD+1=3/(BD+1)时，M最小.AC/AB最小.

这时我们只需要求出BD的值即可。这是关于BD的分数阶方程，可以解为BD=3-1.具体解方程的过程，请自行脑补。

那么你完成了吗？解决办法和老黄的一样吗？