2011年数学高考卷(2011年高考数学试题)

原标题：2011年高考数学最后一题，综合导数题，正确率小于5

大家好！本文想跟大家分享的是2011年高考卷一的数学最后一道题。这是一道关于导数的综合题，全面考查导数的计算、导数的几何意义、线性方程组、导数和函数单调性，以及分类讨论。这题比较难，尤其是第二题，准确率不到5%。

我们先看第一个问题：求a和b的值。

a和b是两个参数，要求两个未知数的值需要两个方程，即需要两个条件。但该题只告诉了正切方程的一个条件，所以我们需要充分挖掘正切方程中隐藏的信息。

首先，切线经过点(1,f(1))，因此将x=1代入切线方程可得y=1，即f(1)=1。根据f(x)的解析公式，f(1)=b，所以b=1。

其次，从切线方程我们可以发现，切线的斜率为-1/2。结合导数的几何意义，可得f(1)=-1/2。所以首先对f(x)求导，得f(1)=a/2-b，则a/2-b=-1/2，解为a=1。

我们看第二个问题：求k的取值范围。

第二个问题非常困难。我们先给大家分享参考答案的解决方案，然后重点给大家分享一个比较容易理解和想到的解决方案。

解决方案一：

f(x)>lnx/(x-1)+k/x等价于f(x)-lnx/(x-1)-k/x>0，因此成为函数g(x)的最小值=f(x)-lnx/(x-1)-k/x大于零。

首先推导g(x)的导数，然后将k分为(-,0]、(0,1)、(1,+)三种情况进行讨论，最终得到k的取值范围。

关于方案一，很多同学表示很难想到将k分为这三类来讨论，所以本文不再赘述。有兴趣的同学可以看看上图的分析。接下来我重点讨论第二种解决方案。

解决方案二：

要找到参数的取值范围，高中时一个很重要的方法就是参数变量分离，即参数和变量分离。本题参数变量分离后，当x0且x1时，k-2xlnx/(x^2-1)+1始终为真，因此转化为恒真问题。进一步变换，当x>0且x1时，k小于或等于函数g(x)=-2xlnx/(x^2-1)+1的最小值。

首先求g(x)的导数，如下图所示。从g(x)的表达式来看，g(x)的符号取决于分子的符号，所以我们首先讨论分子的符号。设h(x)=x^2-x^2lnx-lnx-1，则h(x)=x-2xlnx-1/x，h(x)=1/x^2-2lnx-1。

由于当)=0时h(x)是递减函数。因此，当0g(1)时。

然而，当x=1时，g(x)没有意义，也就是说无法求出g(1)的值。那么我们应该做什么呢？如果我们只看g(x)的分数，我们可以发现，当x=1时，分子和分母都为零，并且分子和分母的导数都存在，因此可以使用洛皮塔尔定律求解。即先求分子和分母的导数，然后求极限，从而得到g(1)=0。所以有k0。

洛皮达规则解决这道题的思路比解法1简单，但是在高考中使用洛皮达规则可能会被扣分，所以在高考中尽量少使用洛皮达规则。返回搜狐查看更多

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