高中数学函数及其表示(高中数学函数的表示法)
高考数学的函数与表示
1.找出两个常见错误
（1）“函数”和“映射”的概念很容易混淆：函数是一种特殊的映射，映射不一定是函数。它是从A到B的映射。如果A和B不是数集，那么这个映射不是函数。
(2)分段函数是一个函数，而不是多个函数。分段函数的域是每个段的域的并集，范围是每个段的值域的并集。
2.求函数解析表达式的四种常用方法
(1)匹配方法：给定已知条件f(g(x))=F(x)，F(x)可以重写为关于g(x)的表达式，然后用x代替g(x)，则我们得到f(x)的表达式；
（2）待定系数法：如果函数类型（如一次函数、二次函数）已知，则可以采用待定系数法；
(3)元素置换法：如果复合函数f(g(x))的解析式已知，则可以采用元素置换法。这时要注意新元素的取值范围；
(4)方程组法：如果已知f(x)和f或f(-x)的表达式，则可以根据已知条件构造另一个方程组，形成方程组，并求解求f(x)的方程
函数的基本概念【学生用书P17】
【以身作则】
下面给出的同组函数中，它们代表的是同一个函数吗？为什么？
(1)f1:y=;f2：y=1。
(2)f1：y
f2:
X
x1
1x2
x2
y
1
2
3
(3)f1：y=2x；f2：如图所示。
【解决办法】（1）功能不同。f1(x)的定义域为{xR|x0}，f2(x)的定义域为R。
(2)对于同一个函数，x和y的对应关系完全相同，定义域也相同。它们是同一功能的不同表达。
(3)功能相同。原因与(2)相同。
如何判断函数是否是同一个函数
(1)两个函数是否是等函数取决于它们的定义域和对应关系是否相同。只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，它们才是相等的函数。
(2)函数的自变量习惯上用x表示，但也可以用其他字母表示，如：f(x)=2x-1、g(t)=2t-1、h(m)=2m-1。功能相同。
作出如下判断：
f(x)=和g(x)=代表同一个函数；
函数y=f(x)的图像与直线x=1最多有1个交点；
f(x)=x2-2x+1和g(t)=t2-2t+1是同一个函数；
若f(x)=|x-1|-|x|，则f=0。
正确的数字是_________。
【分析】对于，由于函数f(x)=的定义域为{x|xR且x0}，而函数g(x)=的定义域为R，因此它们不是同一个函数；对于。如果x=1不是y=f(x)域中的值，则直线x=1和y=f(x)的图像没有交点。如果x=1是y=f(x)值域中的值，从函数的定义可以看出，直线x=1和y=f(x)的图像只有一个交点点，即y=f(x)的图像与直线x=1最多有一个交点；对于，f(x)和g(t)的定义域、取值范围和对应关系相同，因此f(x)和g(t)代表同一个函数；对于，由于f=-=0，
所以f=f(0)=1。
综上可知，正确的判断是。
【答案】
求函数的定义域【学生用书P17】
【以身作则】
(1)函数f(x)=的定义域是_________。
(2)若函数y=f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)=的定义域为________。
【分析】（1）要使函数f(x)有意义，必须是
求解x-。
所以函数f(x)的定义域是。
(2)由此可知0x1，即定义域为[0,1)。
【答案】(1)(2)[0,1)
【穿越练习】
1.（2017·淄博模拟）函数f(x)lg(3x1)的定义域为()
A.B.
光盘。
B【分析】一个函数要有意义，必须满足
解为-x1。
2.函数f(x)=(a0且a1)的定义域是________。
【分析】由0x2，求函数的定义域为(0,2]。
[答案](0,2]
求函数的解析公式【学生用书P18】
【以身作则】
(1)已知f=x2+，则f(x)的解析式为________。
(2)已知f=lgx，则f(x)的解析式为________。
(3)若f(x)为二次函数，且f(0)=3、f(x+2)-f(x)=4x+2，则f(x)的解析式为________。
(4)函数f(x)满足方程2f(x)+f=2x，xR且x0，则f(x)=________。
【分析】（1）由于f=x2+=-2，
所以f(x)=x2-2,x2或x-2,
因此，f(x)的解析公式为f(x)=x2-2（x2或x-2）。
(2)令+1=t，由于x0，所以t1和x=，
所以f(t)=lg，即f(x)=lg(x1)。
(3)假设f(x)=ax2+bx+c(a0)，并且f(0)=c=3。
所以f(x)=ax2+bx+3，所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2。
所以
所以
因此，所求函数的解析公式为f(x)=x2-x+3。
(4)因为2f(x)+f=2x,
将x替换为x，可得2f+f(x)=。
将中的f消去，得3f(x)=4x-。
所以f(x)=x-(xR且x0)。
【答案】（1）f（x）x2-2（x2或x-2）（2）f（x）lg（x1）（3）f（x）x2-x3（4)x(x0)
如果本例中的条件(4)变为2f(x)+f(-x)=2x，则求f(x)。
【解】因为2f(x)+f(-x)=2x，
将x替换为-x，得到2f(-x)+f(x)=-2x，
将中的f(-x)消去，得3f(x)=6x，
所以f(x)=2x。
【穿越练习】
1、已知f(+1)=x+2，则f(x)的解析公式为f(x)=__________。
【分析】方法一：假设t=+1，
则x=(t-1)2(t1);
代入原公式可得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1。
因此，f(x)=x2-1(x1)。
方法2：因为x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1，
所以f(+1)=(+1)2-1(+11)，
即f(x)=x2-1(x1)。
【答案】x2-1(x1)
2、假设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f(x)=2x+2，则f(x)的解析公式为f(x)=__________
【分析】设f(x)ax2bxc(a0)，
则f(x)=2ax+b=2x+2，
所以a=1，b=2，f(x)=x2+2x+c。
并且因为方程f(x)=0有两个相等的实根，
所以=4-4c=0，c=1，所以f(x)=x2+2x+1。
【答案】x22x1
分段函数（高频测试点）【学生用书P18】
分段函数是一类重要的函数，是高考热门话题。它们大多以多项选择题或填空题的形式呈现。试题难度不是很大，大多是简单题或中级题。
高考主要从以下四个命题角度考察分段函数：
(1)从分段函数的解析表达式中求出函数值（或最大值）；
(2)由分段函数的解析表达式和方程求出参数的取值(或范围)；
(3)根据分段函数的解析表达式求解不等式；
(4)根据分段函数的解析表达式，确定函数的奇偶性。（本章第3章有说明）
【以身作则】
(1)(2015年高考陕西卷)假设f(x)=则f(f(-2))=()
A。-1B.C.D.
(2)(2017·高考卷C)假设函数f(x)=，则满足f(x)+f1的x的取值范围为________。
【分析】（1）因为-20，所以f(-2)=2-2=0，所以f=1-=1-=。
(2)当x0时，f(x)=2x1始终为真。当x-0，即x时，f=2x-1。当x-0，即0x，f=x+时，不等式f(x)f1始终成立。当x0时，f(x)+f=x+1+x+=2x+1，所以-x0。综上，x的取值范围为。
【答案】（1）C（2）