三角形的各个心以及特点(向量表示三角形的各个心)

#education听我说#一：'三角形的重心'

即使我们不知道重心的数学术语，也没有关系。我们这样想：如果我把手指放在三角板上的某个点上，正好平衡了三角板，那么这个点就是三角形的重心。

上面这段话应该很容易理解，那么我们如何找到这一点呢？此时，我们先把三角形放在一边。如果我有一根质地均匀的木棍，我如何找到木棍的重心？大家都知道，如果我把手指放在棍子的中点，它就会保持平衡。因此，线段的重心就是线段的中心。

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让我们回到这个三角形。如果我们把这个三角形分成很多细棍（线段），如下图所示：

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那么每条线段的重心都在线段的中点上，所以这个三角形的重心一定在所有中点的连线上。也就是说，这个三角形的重心在线段AF上，

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同理，我们知道这个三角形的重心也在另外两条中线上，所以三角形的重心就是这三条中线的交点。

2：“三角形的外心”

现在我们来研究三角形的外心。顾名思义，三角形的外心是指三角形外接圆的中心。那么，我们如何找到三角形的外心呢？请看下面的图片：

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三角形的三个顶点A、B、C都在圆O上，所以O点是三角形ABC的外心。由于AB、BC、AC都是圆O的弦，所以O点一定在AB的垂直平分线上。（定理：圆上任意弦的垂直平分线一定经过圆心）。同理，O点也在BC的垂直平分线上……

因此，三角形的外心就是三角形垂直平分线的交点。

三：“三角之心”

顾名思义，三角形的内心是三角形的内切圆的中心。那么如何找到内心呢？我们先看一下下面这张图：

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三角形ABC的内圆心为O点，三边的切点为E、F、G。显然，E、F、G三点都在圆O上。我们连接EO、FO、GO，然后连接AO、BO、CO，如下图：

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由于E、F、G都在圆O上，所以OE=OF=OG

又因为E、F、G都是切点，所以OE垂直于AB，OG垂直于AC，OF垂直于BC。根据RT三角形全等定理，我们很容易得到三组全等三角形：

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因此，角度关系如下：

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因此，三角形的心就是三个角平分线的交点。

四：“三角形的垂直中心”

所谓垂直中心就是三个高度的交点。

综上所述：

三角形的重心是三条中线的交点。

三角形的外心是三个垂直平分线的交点。

三角形的中心是三个角平分线的交点。

三角形的垂直中心是其三个高度的交点。

一般高中涉及到的心就只有这四种。接下来是大事。在高考中，重心的运用是很常见的。

三角形重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心与三角形任意两个顶点所围成的三个三角形的面积相等。即重心到三边的距离与三边的长度成反比。

3、重心到三角形三个顶点的距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心坐标为顶点坐标的算术平均值，即重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3)。

5、从重心开始到三角形三个顶点的三个向量之和等于零向量。

最常用的是1、4、5，希望大家牢记重心的这三个属性。