如何判断复合函数单调性(如何判断复合函数的单调性)

问题无疑是“复合函数的单调性”。复合函数是高中知识中的难点。困难在于内层和外层的变化会干扰整体的变化。大多数复合函数无法直接绘制其图像，无法直观地识别，因此很容易混淆。

复合函数有两种最常见的问题类型。一是复合函数的单调性，包括求单调区间和参数单调性的讨论；二是复合函数的导数，包括正切斜率、正切方程和相关的不等式问题。

一、复合函数的概念

1、复合函数的定义：

iframe'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'角色='演示'yy是'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u'role='演示'uu的函数，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u'角色='演示'uu是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx函数，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(u),u=g(x)'角色='演示'y=f(u),u=g(x)y=f\left(u\right),u=g\left(x\right)，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'角色='演示'yy关于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'角色='演示'xx函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(g(x))'role='presentation'f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)调用函数rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='y=f(u),u=g(x)'角色='演示'y=f(u),u=g(x)y=f\left(u\right),u=g\left(x\right)和的复合函数。其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u'role='presentation'uu是中间变量，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx为自变量，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'role='presentation'yy是函数值。

2、复合函数举例：

例如，functionrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=x2#x2212;1'role='presentation'y=x21y=\sqrt{x^{2}-1}由函数rame'tabindex='0'style='确定字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='y=u'角色='演示'y=uy=\sqrt{u}和函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u=x2#x2212;1'角色='演示'u=x21u=x^{2}-1;函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=sin(2x#x2212;#x03C0;3)'角色='演示'y=sin(2x3)y=sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\右）由函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%确定；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='y=sinu'角色='演示'y=sinuy=sinu和函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u=2x#x2212;#x03C0;3'role='presentation'u=2x3u=2x-\frac{\pi}{3}是复合的。

【笔记】

复合函数不是基本初等函数的一种，而是一种函数运算，类似于加法、减法、乘法和除法。基本初等函数包括五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，这些函数可以通过加、减、乘、除、合成等方式组成初等函数。例如复合函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=log2(x3)'角色='演示'f(x)=log2(x3)f\left(x\right)=log_{2}\left(x^{3}\right)是对数函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=log2u'role='presentation'y=log2uy=log_{2}u和幂函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u=x3'角色='演示'u=x3u=x^{3}。

二、复合函数的单调性

1、复合函数单调性的判定：

对于函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(u),u=g(x)'角色='演示'y=f(u),u=g(x)y=f\left(u\right),u=g\left(x\right),iframe'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u=g(x)'角色='演示'u=g(x)u=g\left(x\right)在区间ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(a,b)'role='presentation'(a,b)\left(a,b\right)上存在单调性，当rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='x#x2208;(a,b)'角色='演示'x(a,b)x\in\left(a,b\right),Rame'tabindex='0'style='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u#x2208;(m,n)'role='presentation'u(m,n)u\in\left(m,n\right)，并且rame'tabindex='0'style='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(u)'角色='演示'y=f(u)y=f\left(u\right)inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='(m,n)'role='presentation'(m,n)\left(m,n\right)具有单调性，则复合函数rame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(g(x))'role='presentation'f(g(x))f\left(g\left(x的单调性\right)\right)满足以下规则：

外层功能增加、减少、减少。内在功能增加、减少、减少。复合函数增加、减少、减少。[笔记]

上表的规律可以概括为：同增异减。即外层函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(u)'role='presentation'y=f(u)y=f\left(u\right)和内部函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u=g(x)'role='presentation'u=g(x)u=g\left(x\right)具有相同的单调性，则复合函数rame'tabindex='0'样式='字体-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(g(x))'role='presentation'f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)单调递增；外部函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(u)'role='presentation'y=f(u)y=f\left(u\right)和内部函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u=g(x)'role='presentation'u=g(x)u=g\left(x\right)具有相反的单调性，则复合函数rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(g(x))'role='presentation'f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)单调递减。

2、复合函数单调性的证明：

【证明】

设置rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2200;x1,x2#x2208;(a,b)'角色='演示'x1,x2(a,b)\forallx_{1},x_{2}\in\left(a,b\right)，并且rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1lt;x2'角色='演示'x1x2x_{1}x_{2}。

按rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='u=g(x)'角色='演示'u=g(x)u=g\left(x\right)inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(a,b)'role='presentation'(a,b)\left(a,b\right)单调递增

t(x2)'角色='演示'g(x1)g(x2)g\left(x_{1}\right)g\left(x_{2}\right)和rame'tabindex='0'style='字体-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='g(x1),g(x2)#x2208;(m,n)'角色='演示'g(x1),g(x2)(m,n)g\left(x_{1}\right),g\left(x_{2}\right)\in\left(m,n\right)。

也ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y=f(u)'角色='演示'y=f(u)y=f\left(u\right)inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(m,n)'角色='演示'(m,n)\left(m,n\right)，则

t(g\left(x_{1}\right)\right)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(g(x1))lt;f(g(x2))'角色='演示'f(g(x1))f(g(x2))f\left(g\left(x_{1}\right)\right)f\left(g\left(x_{2}\right)\right),

即rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(g(x))'角色='演示'f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)israme'tabindex='0'style='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(a,b)'role='在'presentation'(a,b)\left(a,b\right)上增加函数。

【笔记】

这里单调性的证明采用定义的方法。上述证明是第一个证明，其他情况也是如此。

三、典型例题赏析

1、题目解答：

[标题]

讨论函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)=0.8x2#x2212;4x+3'作用='表示'f(x)=0.8x24x+3f\left(x\right)=0.8^{x的单调性^{2}-4x+3}。

【分析】

复合函数的单调性可以从两个方面来判断：一是分为内函数和外函数进行讨论，二是利用导数工具来判断。一般我们采用前者，因为后者的推导往往比较复杂。

【方法一】

函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f(x)'role='presentation'f(x)f\left(RR,

内部函数rame'tabindex='0

"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="u=x2?4x+3=(x?2)2?1≥?1"role="presentation">u=x2?4x+3=(x?2)2?1≥?1u=x^{2}-4x+3=\left(x-2\right)^{2}-1\geq-1，

且在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,2)"role="presentation">(?∞,2)\left(-\infty,2\right)单调递减，在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(2,+∞)"role="presentation">(2,+∞)\left(2,+\infty\right)单调递增。

外层函数rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="y=0.8u"role="presentation">y=0.8uy=0.8^{u}在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[?1,+∞)"role="presentation">[?1,+∞)[-1,+\infty)单调递减，

故复合函数rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f(x)"role="presentation">f(x)f\left(x\right)在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,?2)"role="presentation">(?∞,?2)\left(-\infty,-2\right)单调递增，

在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(2,+∞)"role="presentation">(2,+∞)\left(2,+\infty\right)单调递减。

【注】

这里的单调区间也可取为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,2]"role="presentation">(?∞,2](-\infty,2]和rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[2,+∞)"role="presentation">[2,+∞)[2,+\infty)。

【法2】

函数rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f(x)"role="presentation">f(x)f\left(x\right)的定义域为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="R"role="presentation">RR，求导得

rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f′(x)=0.8x2?4x+3ln0.8×(2x?4)"role="presentation">f′(x)=0.8x2?4x+3ln0.8×(2x?4)f^{}\left(x\right)=0.8^{x^{2}-4x+3}ln0.8\times\left(2x-4\right)。

令0">rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f′(x)>0"role="presentation">f′(x)>0f^{}\left(x\right)>0得递增区间为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,2)"role="presentation">(?∞,2)\left(-\infty,2\right)，

令t(x\right)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f′(x)<0" role="presentation">f′(x)<0f^{}\left( x \right)<0 得递减区间为rame" tabindex="0" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative; color: green;" data-mathml="(2,+∞)" role="presentation">(2,+∞)\left(2,+\infty\right)。

【注】

法2中，指数函数部分0">rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="0.8x2?4x+3>0"role="presentation">0.8x2?4x+3>00.8^{x^{2}-4x+3}>0，而对数rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="ln0.8<0" role="presentation">ln0.8<0ln0.8<0 ，故直接解一次不等式即可。

2、相似题型：

【例题】

求函数rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f(x)=log2(x2?2x?3)"role="presentation">f(x)=log2(x2?2x?3)f\left(x\right)=log_{2}\left(x^{2}-2x-3\right)的单调区间。

【答案】

单调递增区间为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[3,+∞)"role="presentation">[3,+∞)[3,+\infty)，单调递减区间为rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,?1]"role="presentation">(?∞,?1](-\infty,-1]。

以上。

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